초읍동 고1수학과외
초읍동 고1수학과외, 경우를 나눌 때 겹치는 해를 막는 연습
부산진고등학교 학생은 선택형 문제의 식을 정리한 뒤, 가능한 경우를 빠르게 나누어 답을 찾으려 했다. 그러나 문자 치환 과정에서 앞 단계의 결과를 다시 확인하지 않아 같은 해를 두 경우에 넣는 오류가 생겼다.
경계가 겹치면서 생긴 중복
문제의 조건을 두 갈래로 나누는 과정에서 학생은 각 경우의 범위가 서로 겹치는지 확인하지 않았다. 그래서 계산 결과 자체는 맞아 보여도, 두 경우를 합친 최종 해에 중복이 포함될 수 있는 상태였다.
경우를 나눈 뒤에는 각 범위가 겹치지 않고, 가능한 값을 빠뜨리지 않는지 확인해야 한다.
교정할 때는 경우마다 허용되는 범위를 한 문장으로 직접 적게 했다. 예를 들어 한 경우가 x≤2이고 다른 경우가 x>2라면 두 조건은 겹치지 않으며 모든 실수를 빠짐없이 포함한다. 반대로 x≤2와 x≥2를 함께 사용하면 x=2가 중복되므로 별도 처리가 필요하다.
표현을 바꾼 조건에 적용하기
이후에는 같은 계산 유형이 아닌, 조건의 순서를 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 먼저 “두 번째 경우는 첫 번째 경우의 여집합인가?”를 확인한 다음, 각 범위를 식으로 옮겼다. 숫자만 바꾼 것이 아니라 ‘이상’과 ‘초과’의 표현을 구분해야 하는 문제였기 때문에 끝점의 포함 여부가 핵심이었다.
- x≤a와 x>a는 겹치지 않으며 모든 실수를 나눈다.
- x≤a와 x≥a는 x=a에서 겹친다.
학생은 조건을 나눈 직후 허용 범위를 말로 설명하고, 그 설명과 식의 부등호가 일치하는지 확인했다. 그 결과 계산을 먼저 밀어붙이던 습관이 줄고, 경우 분류의 기준을 풀이 앞부분에서 세울 수 있었다.
그래프로 확인한 최종 판단
마지막에는 부등식의 두 해를 수직선에 표시하지 않고, 좌표평면에서 조건에 해당하는 영역을 해석하게 했다. 경계선이 포함되는지와 두 영역이 겹치는지를 그림으로 확인한 뒤, 각 경우의 해를 합쳤다.
새로운 문제에서는 식을 정리한 뒤 얻은 후보를 원식에 다시 대입했다. 대입 결과가 조건을 만족하지 않는 후보는 제거하고, 두 경우에 동시에 나타난 값은 한 번만 세었다. 계산 결과뿐 아니라 경우의 범위와 경계 처리가 모두 일치할 때 답을 확정하는 기준을 세웠다.