영종국제도시 중1수학과외
영종국제도시 중1수학과외에서 다룬 각의 표현 전환
영종국제도시의 LH1단지와 공항신도시가 이어진 생활권에서 학교 자습시간에 풀었던 문제를 바탕으로, 각을 읽고 표현하는 과정을 다시 살펴보았다. 인천하늘중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 도형 문제였지만, 핵심은 그림의 모양을 외우는 것이 아니라 각의 꼭짓점과 두 변을 정확히 확인하는 것이었다. 이 사건은 영종국제도시과외 수업에서 학생이 적은 풀이 한 줄을 거꾸로 추적하며 진행했다.
그림을 보자마자 생긴 혼동
문제에는 세 점 A, B, C가 표시된 꺾인 선이 있었고, B에서 두 선분 BA와 BC가 뻗어 있었다. 질문은 ‘각 ABC를 다른 방식으로 나타내라’는 내용이었다. 학생은 그림을 보며 곧바로 “각 ABC는 각 BAC와 같다”고 적었다. 그림에서 두 각이 비슷한 방향으로 보인다는 이유였다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 각의 이름을 쓰기 전에 가운데 글자가 무엇을 뜻하는지 확인하지 않은 것이었다. 각 ABC에서 가운데 글자 B는 반드시 각의 꼭짓점이어야 하는데, 학생은 그림의 방향과 모양을 먼저 비교했다. 그 결과 실제로 B에서 만나는 두 변이 아니라 A에서 만나는 선분을 기준으로 다른 각을 골랐다.
각의 이름에서 가운데 글자는 꼭짓점, 양옆 글자는 그 꼭짓점에서 뻗은 두 변의 점이다.
한 줄의 기준을 다시 세우다
학생이 쓴 식을 지우기보다, 각 ABC 아래에 세 가지를 나란히 적었다.
- 가운데 글자: B
- B에서 연결된 점: A와 C
- 두 변: 선분 BA와 선분 BC
이제 그림의 선을 손가락으로 따라가며 B에서 A로 가는 선분과 B에서 C로 가는 선분 사이를 표시했다. 같은 각을 나타내는 이름은 양옆의 A와 C를 서로 바꾼 각 CBA였다. 학생은 “가운데 글자가 B로 유지되고, 양끝의 점은 각의 두 변 위에 있어야 하므로 각 ABC와 각 CBA가 같은 각”이라고 설명했다. 도형이 어느 방향으로 놓였는지는 이름을 결정하지 않는다는 점도 함께 확인했다.
모양을 바꾼 독립 적용
다음에는 이전 그림을 그대로 복사하지 않고, 꼭짓점 O에서 두 선분 OP와 OQ가 아래쪽과 오른쪽으로 뻗은 그림을 제시했다. 질문도 바꾸어 ‘각 POQ를 나타내는 다른 이름을 쓰고, 각의 꼭짓점과 두 변을 문장으로 설명하라’고 했다. 학생은 먼저 O에 동그라미를 그리고, OP와 OQ 위의 점 P와 Q를 표시했다. 그런 뒤 “꼭짓점은 O이고, 두 변은 OP와 OQ이므로 반대 순서로 각 QOP라고 쓸 수 있다”고 적었다.
이번에는 그림을 왼쪽으로 돌려 놓고 점의 이름도 X, Y, Z로 바꾸었다. 학생은 모양을 이전 도형과 비교하지 않고 가운데 글자를 먼저 찾았다. Y에서 YX와 YZ가 만나는 것을 확인한 후, 각 XYZ의 다른 표현을 각 ZYX로 바꾸었다. ‘각 XZY’는 가운데 글자가 Z이므로 다른 곳의 각이라는 점도 선분을 직접 따라가며 구별했다.
문장으로 바뀐 조건에서 다시 확인하기
마지막 문제는 그림 없이 “두 선분 MN과 MP가 M에서 만나 만든 각을 쓰시오”라고 제시했다. 학생은 선분의 첫 글자와 끝 글자를 기계적으로 읽지 않고, 두 선분이 만나는 M을 꼭짓점으로 정했다. 따라서 답을 각 NMP 또는 각 PMN으로 적었다. 이어서 각 NMP를 원래 조건에 대조하며 가운데 글자 P가 아닌 M인지 확인하고, 양끝 N과 P가 각각 두 변 위의 점인지 다시 표시했다.
처음 틀린 각 ABC 문제도 힌트 없이 다시 풀게 했다. 학생은 “먼저 가운데 글자를 확인하고, 그 점에서 실제로 뻗은 두 변을 찾은 뒤 양끝 순서만 바꾼다”고 말한 다음 각 CBA를 적었다. 이어 B를 꼭짓점으로 표시하고 BA와 BC를 다시 짚어 답이 처음 조건과 맞는지 검산했다. 그림의 방향, 점 이름, 배치가 달라져도 꼭짓점과 두 변을 기준으로 같은 각을 표현하는 과정이 재현되었다.
이처럼 인천중산중학교와 영종중학교가 있는 생활권의 자습 문제에서도 각의 이름은 보이는 모양보다 정의와 표시를 먼저 확인해야 한다. 영종국제도시중1수학과외에서는 학생이 적은 답을 바로 바꾸기보다, 첫 판단이 어느 지점에서 달라졌는지 찾아 같은 개념 안에서 다시 표현하고 검산하도록 지도했다.