가좌동 중3수학과외

가좌동 중3수학과외에서 확인한 30도 삼각비의 기준각

가좌마을1.2단지와 가좌마을5.6단지가 있는 생활권에서 중3수학 문제를 풀다 보면 같은 30도라도 그림의 방향과 질문 방식이 달라져 학생이 흔들릴 수 있습니다. 가좌동과외 수업에서는 계산 속도보다 먼저 기준각에서 각 변이 어떤 역할을 하는지 확인하도록 풀이 기록을 살폈습니다. 제물포중학교, 가좌중학교 등이 포함된 생활권의 학습 사례에서도 이 부분은 표현이 바뀔 때 자주 드러나는 지점입니다.

나란히 놓은 두 풀이에서 보인 선택

첫 문제는 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°, 빗변 AB=10cm, 변 BC의 길이를 구하는 것이었습니다. 학생은 시간 제한을 두고 다음처럼 적었습니다.

“30°에 붙은 변이 AC이므로 cos30°=AC/10. 그런데 구하는 것은 BC이므로 sin30°=BC/10, 따라서 BC=5.”

이 문제의 결론은 맞았습니다. 이어진 문제에서는 삼각형의 그림을 뒤집어 놓고, ∠B=30°, 빗변 AC=12cm일 때 30°에 마주 보는 변의 길이를 물었습니다. 학생은 그림 옆에 첫 문제의 식을 거의 그대로 옮겨 적어 “cos30°=미지변/12”라고 표시했습니다.

두 풀이를 나란히 살펴보니 학생은 계산 자체보다 기준각을 표시하기 전에 삼각비와 변을 먼저 고르는 행동을 반복하고 있었습니다. 그림이 돌아가자 ‘마주 보는 변’과 ‘붙어 있는 변’의 위치를 이전 그림과 비교해 선택한 것입니다.

식보다 먼저 고정한 한 가지 표시

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었습니다. 두 번째 문제에서 먼저 30°인 각 B에 동그라미를 치고, 그 각을 기준으로 변을 다시 읽었습니다. 직각의 맞은편인 AC는 빗변, B에서 30°를 이루며 빗변이 아닌 BA는 이웃한 변, BC는 30°에 마주 보는 변입니다.

따라서 구하는 BC에는 사인 관계만 남습니다.

sin30°=BC/AC
1/2=BC/12
BC=6

앞 문제에서 맞았던 계산을 버리지 않고, 변을 선택하는 순서만 바꾼 것입니다. 기준각을 표시한 뒤에야 ‘구하려는 변’과 ‘이미 아는 변’의 역할을 연결하자, 그림의 방향은 식을 정하는 기준이 되지 않았습니다.

모양을 바꾼 새 상황

다음에는 삼각형 그림 대신 설명문과 간단한 표를 제시했습니다.

• 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=30°
• 30°에 마주 보는 변 PR=7cm
• 30°에 이웃한 변 QR의 길이를 구함

이번에는 이전 문제처럼 빗변이 숫자로 먼저 제시되지 않았고, 미지수가 30°에 붙은 변에 놓였습니다. 학생은 ∠Q에 표시한 뒤 직각의 맞은편 PR을 빗변으로 확인했습니다. QR은 기준각에 이웃한 변이므로

tan30°=PR/QR

을 세웠습니다. 여기서 중요한 것은 새로운 공식을 외운 것이 아니라, 기준각에서 바라본 두 변의 역할을 먼저 정했다는 점입니다. 다만 이 글의 초점은 여러 삼각비를 넓게 분류하는 데 있지 않고, 표현이 바뀌어도 기준각과 그 기준에서의 변 역할을 고르는 과정에 있습니다.

힌트가 사라진 마지막 확인

마지막에는 아무 표시도 없는 문제를 제시했습니다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=30°, XZ=9cm이고 YZ의 길이를 구하라는 문제였습니다. 학생은 곧바로 식을 쓰지 않고 먼저 ∠Y에 표시했습니다. 직각이 X이므로 YZ는 30°에 이웃한 변, XZ는 30°에 마주 보는 변이며 XY가 빗변이라고 설명했습니다.

그 뒤

tan30°=XZ/YZ=9/YZ

라고 세우고, tan30°=1/√3을 이용해 YZ=9√3cm를 얻었습니다. 마지막으로 구한 값을 원래 관계에 대입하여

9/(9√3)=1/√3

이므로 30°의 탄젠트 관계와 일치한다고 검산했습니다. 처음 보는 그림에서도 기준각을 먼저 선택하고, 그 기준에서 두 변의 역할을 설명한 뒤 식을 세운 장면입니다. 이런 독립 확인이 가좌동중3수학과외에서 다룬 30도 삼각비 표현 전환의 실제 도달점입니다.