테크노벨리 중2수학과외

테크노벨리 중2수학과외에서 살펴본 일차부등식 풀이

테크노벨리과외 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 구한 뒤, 답이 맞는지 원래 부등식에 다시 넣어 확인하는 문제를 풀고 있었다.

검산 결과에서 거꾸로 읽은 풀이

문제는 다음과 같았다.

3x-5≤10을 만족하는 x의 범위를 구하고, 경계값을 대입하여 확인하시오.

학생은 공책에 먼저 3x≤15라고 적었다. 이어서 x≤5라고 정리한 뒤, 답을 x≤5로 표시했다. 계산 자체는 자연스러워 보였지만 검산 줄에서 5를 대입하면서 3×5-5=10이라고 쓰고는, 경계값 5를 해에 포함하지 않는 것처럼 동그라미를 쳐 두었다. 답의 범위와 검산 표시가 서로 달랐다.

수업에서는 완성된 풀이를 처음부터 다시 풀게 하지 않고, 검산 부분에서 출발해 거꾸로 읽었다. 학생은 5를 원래 식에 넣고 10≤10이 참이라는 것을 확인했다. 그다음 바로 앞줄의 부등호 표시를 살펴보며, 계산 결과가 아니라 경계값을 포함할지 결정한 순간에 표시가 어긋났다는 것을 찾았다. 10≤10은 참이므로 등호가 포함된 조건에서는 5를 해에 넣어야 했다.

처음 어긋난 한 줄만 고치기

학생이 처음 잘못 선택한 판단은 x≤5를 적은 뒤 경계값을 제외하려 한 것이었다. 이차적인 계산 오류나 새로운 풀이법을 더하지 않고, 그 판단만 바로잡았다. 양변에 5를 더한 과정은 그대로 두고, 양변을 3으로 나누는 과정도 그대로 유지했다. 3은 양수이므로 부등호 방향을 바꿀 이유가 없다는 점을 옆에 짧게 표시했다.

• 3x-5≤10
• 3x≤15
• x≤5

학생은 마지막 줄의 ≤에 밑줄을 긋고, “5를 넣으면 10≤10이 참이므로 포함”이라고 적었다. 이때 중요한 것은 답만 x≤5로 고친 것이 아니라, 왜 경계값이 들어가는지 원래 부등식의 등호를 이용해 확인한 점이었다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

같은 내용을 숫자만 바꿔 반복하지 않기 위해, 식 대신 문장과 수직선 표시가 함께 제시된 문제로 바꾸었다.

어떤 수 x의 네 배에서 7을 뺀 값이 9보다 크지 않다. 이 조건을 부등식으로 나타내고, 수직선에서 해를 표시하시오.

학생은 먼저 “크지 않다”를 9보다 작거나 같다는 뜻으로 읽고 4x-7≤9라고 적었다. 이전처럼 문장을 읽자마자 부호를 정하지 않고, ‘크지 않다’에 밑줄을 그은 뒤 ≤를 선택했다. 정리하면 4x≤16, x≤4가 되었고, 수직선에서는 4에 빈 점이 아니라 찬 점을 찍고 왼쪽으로 선을 그었다.

이번에는 식만 계산하지 않고 표를 만들어 경계값도 확인했다.

• x=4일 때: 4×4-7=9, 조건 만족
• x=3일 때: 4×3-7=5, 조건 만족
• x=5일 때: 4×5-7=13, 조건 불만족

학생은 표의 첫 줄을 가리키며 “경계값에서 9≤9가 되므로 4는 포함하고, 그보다 작은 수는 값이 더 작아진다”고 설명했다. 문장, 부등식, 수직선, 대입 검산이 서로 같은 해를 가리키는지 확인한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 후반에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 제시했다.

-2x+6≥14를 만족하는 x의 범위를 구하고, 경계값을 원래 부등식에 대입하여 검산하시오.

학생은 첫 줄을 읽고 “-2로 나누면 부호가 바뀐다”고 먼저 적었다. 양변에서 6을 빼 -2x≥8을 만든 뒤, 음수인 -2로 나누어 x≤-4라고 정리했다. 이어 x=-4를 대입해 -2×(-4)+6=14, 즉 14≥14가 참이므로 경계값을 포함한다고 설명했다. x=-5도 대입해 16≥14가 성립하고, x=-3을 넣으면 12≥14가 거짓이므로 해가 -4보다 작거나 같다는 검산 근거까지 스스로 제시했다.

테크노벨리중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 계산 속도가 아니라, 부등호의 방향과 경계값을 결정하는 첫 판단을 직접 세우고 원래 식으로 근거를 확인했다는 데 있다.