테크노벨리 고등수학과외

테크노벨리 고등수학과외에서는 수열 문제를 풀 때 계산 결과만 적지 않고, 각 항이 조건을 만족하는 과정을 표로 남긴다. 대전과학고등학교나 유성고등학교 학생들도 특정 시험의 경향을 추측하기보다, 주어진 수열의 규칙과 항 번호를 정확히 연결하는 연습을 한다. 관평도서관에서 복습할 때는 항 번호, 항의 값, 조건 충족 여부를 세 칸으로 나누어 기록하면 풀이가 흔들린 지점을 쉽게 찾을 수 있다.

항의 범위를 좁히는 수열 풀이

등차수열의 첫째항이 9이고 공차가 17일 때 일반항은 a_n=9+17(n-1)=17n-8이다. 예를 들어 100 이상 200 이하인 항을 찾는 문제라면 먼저 100≤17n-8≤200으로 범위를 정할 수 있다. 그러나 부등식만 풀고 곧바로 답을 확정하면 실제 수열에 존재하지 않는 값을 끼워 넣기 쉽다.

항 번호	항의 값	조건 확인
6	94	100보다 작음
7	111	만족
8	128	만족
9	145	만족
10	162	만족
11	179	만족
12	196	만족
13	213	200보다 큼

처음 틀린 순간을 찾기

한 학생은 부등식에서 대략 7≤n≤12를 얻은 뒤, 답안에 “100, 117, 134, 151, 168, 185”를 적었다. 100부터 공차 17을 더해 조건 구간 안의 항을 만든 것이다. 여기서 첫 오류가 발생한다. 100은 이 수열의 항이 아니며, 항 번호를 대입해 확인하지 않은 채 후보를 수열의 항으로 확정했다. 첫째항 9에서 시작한다는 정보가 표에서 사라진 셈이다.

교정할 때는 후보 숫자를 바로 나열하지 않고, 먼저 n의 정수 범위를 구한 다음 각 번호에 일반항을 대입한다. 100≤17n-8에서 n≥108/17이므로 n≥7이고, 17n-8≤200에서 n≤208/17이므로 n≤12이다. 따라서 허용되는 항 번호는 7부터 12까지다. 이후 a₇=111, a₈=128처럼 계산하면 실제 항만 남는다. 표의 마지막 열에는 ‘만족’ 또는 ‘탈락’을 표시해 경계에서 빠진 항도 확인한다.

다음 날, 조건을 바꿔 혼자 적용하기

다음 날에는 같은 수열에 “항의 값이 130 이상 190 미만”이라는 새 조건을 제시했다. 학생은 이전 풀이를 보지 않고 130≤17n-8<190을 세운 뒤, 138/17≤n<198/17을 계산했다. 정수 항 번호는 9≤n≤11이고, 실제 값은 145, 162, 179이다. 이번에는 조건의 양 끝이 달라져도 먼저 번호 범위를 구하고, 그 번호에 대응하는 항만 표에 옮겼다.

조건을 항의 범위가 아닌 항 번호와 함께 제시해도 같은 방식으로 정리할 수 있다. 예컨대 8≤n≤10인 항 중 150보다 큰 항을 찾는다면 a₈=128, a₉=145, a₁₀=162를 차례로 적고 150을 넘는 항만 선택한다. 조건을 한 문장으로 뭉뚱그리지 않고 번호 조건과 값 조건을 분리하면 후보를 성급하게 확정하는 습관이 줄어든다.

마지막 검산은 원식에 다시 넣기

선택한 항 번호 9, 10, 11을 원래 식 a_n=9+17(n-1)에 다시 대입한다. 각각 145, 162, 179가 나오고 모두 130 이상 190 미만이다. 반대로 경계 밖 번호 8과 12를 넣으면 128과 196이 되어 조건을 만족하지 않는다. 정답 목록만 확인하는 대신 바로 앞뒤 항까지 검사하면 범위를 한 칸 잘못 잡은 경우도 발견할 수 있다.

자주 묻는 질문

부등식만 풀어도 되나요?

항 번호의 범위를 정하는 데는 도움이 되지만, 실제 항인지 확인하려면 일반항에 번호를 대입해야 한다.

왜 100부터 공차를 더하면 안 되나요?

100은 조건의 경계값일 뿐 수열의 첫 항이나 특정 항이라는 보장이 없다. 수열은 9에서 17씩 증가한다.

소수로 나온 항 번호는 어떻게 처리하나요?

항 번호는 자연수이므로 조건에 맞는 정수만 남긴다. 이후 앞뒤 정수의 항을 직접 계산해 경계를 확인한다.

표에는 무엇을 적어야 하나요?

항 번호, 일반항으로 계산한 값, 조건 충족 여부를 적으면 후보가 실제 수열의 항인지 분명해진다.