송강동 중2수학과외
송강동 중2수학과외에서 살펴본 일차부등식의 첫 판단
송강동과외 수업에서 학생은 소수가 포함된 일차부등식을 정수 계수로 바꾸는 문제를 풀었다. 송강동 생활권에는 (송강)청솔아파트와 구즉도서관 인근 생활권이 함께 있어, 수업에서는 학교 시험에 나올 수 있는 짧은 식을 칠판에 적고 풀이 과정을 한 줄씩 확인했다. 대전두리중학교와 대전송강중학교가 포함된 생활권이라는 점을 참고하되, 문제 자체는 특정 학교의 출제 경향이 아니라 중2 일차부등식의 판단 과정에 맞추었다.
0.4x-1.2 > 0.8x+2.4
학생은 먼저 양변의 소수를 없애려고 식 전체에 10을 곱했다. 왼쪽에는 4x-12, 오른쪽에는 8x+24를 적었고, 이어서 x항을 한쪽으로 모으기 위해 양변에 8x를 빼는 줄을 작성했다. 이때 학생은 원래 부등호를 동그라미로 표시하고, 해가 어느 쪽에 놓이는지 잠시 보류했다. 10을 곱하는 단계에서는 양수이므로 부등호를 그대로 두었고, 정리한 식은 다음과 같았다.
4x-12 > 8x+24
학생은 양변에서 4x를 빼어 -12>4x+24를 만든 뒤, 양변에서 24를 빼어 -36>4x까지 계산했다. 여기까지의 계산을 다시 살피던 중, 학생이 가장 먼저 잘못 선택한 지점이 드러났다. 4로 나누는 순간에는 부호가 바뀌어야 하는데, 학생은 앞에서 사용한 부등호를 그대로 유지한 채 -9>x라고 적으려 했다. 결과가 틀렸다는 사실보다 먼저 확인해야 할 판단은 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호 방향을 바꾼다는 기준을 계산 전에 세우지 않은 것이었다.
한 줄에 표시한 부호 교정
이미 맞게 계산한 과정은 그대로 두고, 마지막 줄에만 표시를 추가했다. 교사는 4로 나누는 줄에서 “나누는 수의 부호가 무엇인가?”라고 물었고, 학생은 4가 양수임을 확인했다. 따라서 이 문제에서는 부등호를 바꾸지 않아야 했다.
-36 > 4x
-9 > x
x < -9
학생은 두 번째 줄과 세 번째 줄의 순서가 바뀌었을 뿐 같은 뜻이라는 점을 직접 읽었다. 이어서 경계값 -9를 원래 식에 넣어 양변이 각각 -4와 -4가 되는 것을 확인했다. 경계값에서는 등호가 성립하지만 원래 부등호가 >였으므로 -9는 해에 포함되지 않고, x가 -9보다 작은 범위가 남는다고 설명했다. 이 검산은 단순히 답을 다시 보는 것이 아니라 해의 끝점과 부등호 방향을 함께 확인하는 과정이었다.
식이 아닌 수직선에서 방향을 다시 읽기
다음 문제는 식을 바로 정리하지 않고 수직선으로 제시했다.
수직선에서 -2에 빈 원을 표시하고 왼쪽으로 색칠한 해를 부등식으로 나타내어라.
학생은 빈 원을 보고 -2를 포함하지 않는다고 적었으며, 색칠된 방향이 왼쪽이라는 점을 기준으로 x<-2를 선택했다. 이어 “만약 수직선의 오른쪽이 색칠되었다면?”이라는 질문에는 x>-2라고 답했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식을 계산해 해를 찾는 대신 수직선의 점 표시와 방향을 부등호로 번역하는 문제였다. 학생은 빈 원은 < 또는 >, 포함된 점은 ≤ 또는 ≥에 대응한다고 자신의 말로 정리했다.
- 왼쪽으로 향하면 미지수가 기준값보다 작다.
- 오른쪽으로 향하면 미지수가 기준값보다 크다.
- 빈 원이면 기준값을 포함하지 않는다.
힌트 없이 재현한 최종 확인
수업 끝에는 다음 문제를 새로 제시했다.
-0.6x+1.8 ≤ 0.2x-2.2
학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “소수를 없애기 위해 양변에 10을 곱하고, 10은 양수이므로 부등호는 그대로 둔다”고 말했다. 이어 -6x+18≤2x-22에서 양변에 6x를 더하고 22를 빼어 40≤8x, 즉 x≥5를 얻었다. 학생은 8로 나눌 때 양수이므로 방향을 바꾸지 않았다고 설명했다. 마지막으로 수직선에 5를 찬 점으로 표시하고 오른쪽을 색칠한 뒤, x=5를 원래 식에 대입해 양변이 -1.2로 같아지는 것을 확인했다. 등호가 가능한 문제였으므로 5를 포함해야 한다는 검산까지 스스로 덧붙였다. 송강동중2수학과외 수업에서는 이렇게 계산보다 먼저 부호와 해의 방향을 선택하고, 식과 수직선이 같은 판단을 가리키는지 확인하도록 풀이를 마무리했다.