송강동 고1수학과외
송강동 고1수학과외, 역함수의 존재 조건을 식의 동치로 확인한 사례
송강동에서 고1 수학을 공부하던 학생은 함수의 식을 정리한 뒤 곧바로 역함수가 존재한다고 판단했다. 계산 결과는 자연스러웠지만, 식을 변형하는 과정에서 정의역의 제한이 사라졌고 원래 함수와 일대일 대응인지 확인하지 않았다.
부호보다 먼저 살핀 것은 식의 변형 과정
학생은 y=f(x)에서 x와 y를 바꾸고 x에 대해 정리했다. 이때 양변을 제곱하는 단계가 포함되면서, 변형된 식이 원래 식과 항상 동치인지 점검하지 않은 것이 핵심 오류였다. 제곱은 부호 정보를 잃을 수 있으므로 역함수의 존재를 판단하는 근거가 될 수 없었다.
식이 같은 해를 유지하는 변형인지, 아니면 새로운 해를 포함할 수 있는 변형인지 먼저 구분한다.
수업에서는 각 변형 단계 옆에 ‘동치’ 여부를 표시하게 했다. 양변에 같은 식을 더하거나 빼는 과정은 동치이지만, 제곱이나 절댓값을 도입하는 과정은 별도의 조건이 필요하다는 점을 식 옆에 짧게 적었다. 이후 원래 함수가 정의된 범위에서 서로 다른 두 x값이 같은 함수값을 만들지 않는지도 확인했다.
정의역을 바꾸면 역함수의 모습도 달라진다
예를 들어 f(x)=x²는 전체 실수에서 일대일 함수가 아니므로 역함수가 함수로 정해지지 않는다. 그러나 정의역을 x≥0으로 제한하면 f⁻¹(x)=√x가 된다. 같은 식이라도 정의역 조건이 달라지면 역함수의 존재 여부가 달라진다는 점을 확인한 것이다.
다음 문제에서는 식을 직접 변형하는 대신, 함수의 입력과 출력 역할을 문장으로 바꾸어 제시했다. 학생은 “출력값 하나에 입력값이 하나만 대응하는가”를 먼저 판단한 뒤 역함수의 정의역과 치역을 서로 바꾸어 적었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건의 위치와 질문 방식을 바꾼 상황에서도 같은 기준을 적용했다.
새 표현에서 조건을 다시 판정하다
- 원래 함수의 정의역을 확인한다.
- 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가지 않는지 살핀다.
- 식 변형 뒤 생긴 후보를 원래 관계에 대입해 확인한다.
마지막에는 그래프 없이 “어떤 출력값에 두 입력값이 대응하는 함수”라는 문장을 제시했다. 학생은 역함수가 존재하지 않는 이유를 단순히 식의 모양으로 설명하지 않고, 일대일 대응이 깨졌기 때문이라고 판정했다. 송강동의 구즉도서관에서 다시 풀 때도 식 계산보다 정의역과 동치 변형을 먼저 확인하며, 처음 보는 역함수 문항에서도 판단 기준을 유지했다.