상대동 중3수학과외

상대동에서 시작한 넓이식 인수분해 기록

상대동과외 수업에서 채점 직후 한 학생이 풀이 공책을 펼쳤습니다. 유성중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이라고 설명하기보다, 이번에는 도형의 넓이 관계가 식으로 바뀐 뒤 그 식을 어떻게 인수분해하는지만 확인하기로 했습니다. 트리풀시티9단지와 관평도서관 인근 생활권에서도 비슷한 문제를 접할 수 있지만, 핵심은 배경이 아니라 식 안의 공통인수와 두 인수의 조건을 함께 확인하는 일이었습니다.

공책에 남은 첫 식

문제에는 직사각형의 가로가 x+3, 세로가 x+5로 표시되어 있고, 일부를 잘라 낸 넓이를 정리한 결과가 다음과 같이 주어졌습니다.

x²+8x+15를 두 일차식의 곱으로 나타내어라.

학생은 유형 이름을 찾지 않고 바로 다음과 같이 적었습니다.

x²+8x+15 = (x+3)(x+5)

이 답은 맞았습니다. 이어서 다른 식을 풀 때 학생은 6x²-15x=3x(2x-5)까지 정확히 계산했습니다. 그런데 아래 식에서는 풀이가 달라졌습니다.

2x²-7x-15를 본 학생은 예제에서 자주 보던 형태를 떠올려 (2x+3)(x-5)라고 썼습니다. 실제로 전개하면 2x²-10x+3x-15, 즉 2x²-7x-15가 되므로 이 식 역시 정답입니다. 그러나 학생은 다음 문제에서 같은 방식으로 3x²+x-10을 (3x+5)(x-2)라고 적었습니다. 전개하면 3x²-6x+5x-10=3x²-x-10이므로 원식과 다릅니다.

계산보다 먼저 어긋난 선택

틀린 답이 나온 뒤 계산 과정을 거꾸로 살폈습니다. 학생은 두 수의 곱이 -30이라는 점은 확인했지만, 두 수의 합이 x의 계수인 1이 되어야 한다는 조건까지 묶어 보지 않았습니다. 예제의 순서처럼 5와 -2를 먼저 골라 인수를 만들었고, 부호가 반대인 두 수의 합이 3이 된다는 사실은 나중에야 확인했습니다.

따라서 최초 오류는 전개 계산이 아니라, 곱 조건 하나만 맞는 인수를 선택한 것이었습니다. 도형의 넓이를 나타내는 식이라도 인수분해에서는 공통인수, 두 수의 곱, 두 수의 합, 부호를 함께 맞춰야 합니다.

한 줄 기준으로 다시 고치기

교정은 하나만 적용했습니다. 인수를 바로 쓰지 않고, 먼저 다음 두 조건을 식 옆에 적게 했습니다.

• 두 수의 곱: 3×(-10)=-30
• 두 수의 합: 1

-5와 6은 곱이 -30이고 합이 1이므로

3x²+x-10 = 3x²+6x-5x-10

= 3x(x+2)-5(x+2)

= (3x-5)(x+2)

로 정리됩니다. 앞에서 맞았던 6x²-15x=3x(2x-5)의 계산은 그대로 두고, 인수를 선택하기 전에 곱과 합을 함께 확인하는 행동만 바꾸었습니다. 이 기준은 넓이식에서 음수 항이 나타날 때도 부호를 놓치지 않게 해 줍니다.

표현을 바꾼 독립 문제

며칠 뒤에는 식을 바로 보여 주지 않고, 넓이표의 빈칸을 채우는 방식으로 문제를 제시했습니다. 큰 직사각형의 넓이가 y²-2y-24이고, 이를 두 직사각형 넓이의 곱으로 나타낼 때 한 변을 y-6으로 정할 수 있는지 묻는 문제였습니다.

학생은 먼저 -6×4=-24, -6+4=-2를 적고, 표의 다른 변을 y+4로 결정했습니다.

y²-2y-24=(y-6)(y+4)

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식을 인수로 바꾸는 질문에서 한 변이 주어진 넓이표를 완성하는 질문으로 표현을 바꾸었습니다. 그래도 사용한 판단은 곱과 합, 그리고 음수 부호를 함께 맞추는 하나의 기준에 머물렀습니다.

힌트 없이 다시 확인한 날

상대동중3수학과외 학습 기록을 정리한 뒤 한 주가 지나, 마지막에는 아무 표시 없는 새 문제를 풀게 했습니다.

어떤 직사각형 넓이를 정리한 식이 4t²-4t-15이다. 이를 두 일차식의 곱으로 나타내어라.

학생은 교사의 질문을 기다리지 않고 “앞의 계수와 뒤의 상수의 곱은 -60, 가운데 계수는 -4이므로 곱이 -60이고 합이 -4인 두 수를 찾겠다”고 설명했습니다. -10과 6을 골라

4t²-10t+6t-15

= 2t(2t-5)+3(2t-5)

=(2t+3)(2t-5)

라고 적었습니다. 마지막에는 실제로 (2t+3)(2t-5)=4t²-10t+6t-15=4t²-4t-15라고 다시 전개해 원식과 항별로 비교했습니다. 도움 없이 선택 기준을 말하고, 인수분해 결과를 원래 넓이식으로 되돌려 확인한 장면까지 이어지면서 같은 세부개념을 스스로 재현했습니다.