상대동 고3수학과외

경계점에서 연속과 미분가능성을 분리해 판단한 풀이

관평도서관에서 오답을 정리하던 학생은 매개변수가 들어간 함수 문항을 다시 펼쳤다. 시험에서는 첫 30초 동안 그래프와 계산 결과가 맞는지 확인한 뒤 풀 수 있다고 판단했지만, 실제 풀이에서는 한 계산에 오래 머물러 뒤 문항으로 넘어가지 못했다. 대전예술고등학교 인근 생활권에서 진행한 대전예술고등학교고3수학과외에서도 같은 장면이 반복되어, 이번에는 계산량보다 경계점에서 무엇을 먼저 확인하는지를 압축하기로 했다.

기울기라고 적은 순간부터 흐려진 구분

문제는 다음과 같은 함수의 연속성과 미분가능성을 묻는 형태였다.

f(x)=x²+ax (x<1), bx+1 (x≥1)

학생은 그래프의 꺾임 여부를 먼저 보며 “경계에서 기울기가 같아야 한다”고 적었다. 그러나 이것이 최초의 어긋남이었다. 미분가능성을 확인하기 전에 두 식의 함수값이 실제로 이어지는지 계산하지 않았고, 왼쪽 식의 경계값과 오른쪽 식의 경계값을 각각 구하지도 않았다. 연속이 성립하지 않으면 미분가능성은 논의할 수 없는데, 학생은 곧바로 기울기 조건만 세우려 했다.

풀이를 멈추고 경계 x=1을 세 칸으로 나누어 기록했다. 왼쪽 극한은 1+a, 오른쪽 극한과 함수값은 b+1이므로 연속 조건은 1+a=b+1, 즉 a=b이다. 그다음에야 좌우 미분계수를 비교했다. 왼쪽 미분계수는 2+a, 오른쪽 미분계수는 b이므로 미분가능 조건은 2+a=b이다. 두 조건을 함께 사용하면 a=b와 2+a=b가 충돌하므로, 이 함수는 어떤 실수 a, b에 대해서도 x=1에서 미분가능하지 않다. 연속 조건과 미분가능 조건을 분리했기 때문에 불가능한 이유도 바로 드러났다.

부호변화와 미분계수를 한 줄에 섞지 않기

학생은 그래프의 증가·감소가 바뀌는 지점도 미분가능성의 실패라고 생각하고 있었다. 그래서 원래 식과 임의로 바꾼 식에 간단한 값을 넣어 확인했다. 예를 들어 f(x)=|x-2|는 x=2에서 좌우 함수값이 모두 0이므로 연속이지만, 왼쪽 미분계수는 -1, 오른쪽 미분계수는 1이라 미분가능하지 않다. 여기서 부호변화는 그래프의 방향을 알려 주는 단서일 뿐, 그 자체가 미분가능성의 판정식은 아니다.

이후 학생은 풀이를 세 줄로 제한했다. 첫 줄에는 경계점과 정의된 식을 적고, 둘째 줄에는 좌극한·우극한·함수값을 따로 썼으며, 셋째 줄에는 좌우 미분계수를 비교했다. 경계에서 도함수의 부호가 바뀌는지 보는 것은 그래프 확인 단계로 뒤로 미뤘다. 풀이가 세 줄을 넘으면 시간 초과 지점을 표시하고 다른 문항으로 이동한 뒤, 남은 시간에 다시 돌아와 원식에 값을 대입하기로 했다. 상대동과외에서 이 기준을 적용할 때도 계산을 줄이는 것이 아니라 판정 순서를 고정하는 데 초점을 맞췄다.

조건의 위치가 바뀐 변형에서 확인한 전이

다음에는 숫자만 바꾸지 않고 식의 제시 순서를 뒤집은 문제를 사용했다.

g(x)=cx+4 (x≤2), x²+dx (x>2)

이번에는 x=2에서 함수값이 왼쪽 식에 포함되고 오른쪽 식에는 포함되지 않는다. 학생은 먼저 “경계는 2”라고 표시한 뒤, 왼쪽 함수값 2c+4와 오른쪽 극한 4+2d를 비교해 연속 조건 c=d를 세웠다. 이어 왼쪽 미분계수 c, 오른쪽 미분계수 4+d를 비교했다. 따라서 미분가능하려면 c=4+d도 필요하지만, 연속 조건과 합치면 c=d이므로 해가 존재하지 않는다.

경계값이 어느 식에 포함되는지는 연속성 자체를 계산할 때 함수값의 출처를 정하는 데 영향을 준다. 학생은 이를 놓치지 않으려고 조건을 식 옆에 작게 표시했다. 또한 정수조건이 붙어 매개변수 후보를 고르는 문제에서는 후보를 바로 확정하지 않고, 연속 조건과 미분가능 조건을 각각 만족하는지 상자 안에서 대조했다. 확률의 분모처럼 다른 단원의 표본공간을 끌어오지 않고, 이 문항에서는 오직 경계점의 좌우 비교만 남겼다.

해설을 가린 마지막 문제는 h(x)=px-1 (x<-1), x²+qx (x≥-1)였다. 시간 제한을 줄이고 문항 순서도 바꾸었지만 학생은 먼저 x=-1을 표시했다. 왼쪽 극한은 -p-1, 오른쪽 함수값은 1-q이므로 연속 조건을 p=q-2로 정리했다. 그런 다음 좌우 미분계수 p와 q-2를 비교해 같은 조건이 나온다는 점을 설명했다. 마지막에는 계산된 관계를 원래 두 식에 다시 대입해 경계에서 함수값과 기울기가 각각 맞는지 확인했다.

검산 뒤 학생은 정답만 표시하지 않고 “연속 먼저, 미분가능성 다음, 그래프의 부호변화는 보조 확인”이라고 적었다. 새로운 매개변수 문항에서도 경계점을 찾고, 좌우극한과 함수값을 분리한 뒤, 좌우 미분계수를 비교하는 행동이 도움 없이 유지되었다. 처음의 체류시간 문제도 같은 기준으로 해결되어, 오래 붙잡는 대신 필수 판정만 남기고 재진입할 수 있는 풀이가 완성되었다.