관평동 중2수학과외

경계에서 멈춰 확인하는 일차부등식 풀이

관평동과외 수업에서 학생은 괄호가 포함된 일차부등식의 답을 구한 뒤에도 수직선에 표시한 경계점이 식의 부등호와 맞지 않는 장면을 보였다. 관평도서관 인근 생활권이나 대덕테크노밸리 10단지가 있는 생활권에서 중학교 수학을 공부하는 학생들이 자주 마주치는 유형이지만, 핵심은 계산량보다 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향과 경계 포함 여부를 함께 판단하는 것이었다. 대전관평중학교와 대전동화중학교가 포함된 생활권에서도 문제의 겉모양보다 이 판단이 중요하다.

계산보다 먼저 어긋난 한 줄

학생은 다음 식을 읽고 괄호를 먼저 풀었다.

3(2-x) > 6

공책에는 6-3x > 6이라고 적은 뒤 양변에서 6을 빼어 -3x > 0을 만들었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 다음 줄에서 양변을 -3으로 나누면서도 부등호를 그대로 두어 x > 0이라고 썼다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 계산 결과가 아니라, 음수로 나눌 때도 부등호 방향을 유지해도 된다고 본 것이었다.

그 결과 수직선에는 0을 빈 점으로 표시하고 오른쪽을 색칠했다. 하지만 원래 식에 x=1을 넣으면 3(2-1)=3이 되어 6보다 크지 않다. 자신이 그린 영역이 원래 식과 맞지 않는다는 사실이 검산에서 드러났다.

부등호가 뒤집히는 순간을 표시하다

이미 맞게 전개한 과정은 그대로 두고, 양변을 음수로 나누는 줄만 다시 썼다.

-3x > 0
-3으로 나누면 x < 0

학생은 공책의 -3에 동그라미를 치고, 그 아래에 “음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향 반대”라고 짧게 표시했다. 이어 경계값 0을 원래 부등식에 대입했다. 3(2-0)=6이므로 ‘6보다 크다’에는 해당하지 않는다. 따라서 0은 포함되지 않는 열린 점이고, 0보다 작은 쪽을 나타내야 한다.

이때 모든 경우의 점을 무조건 닫거나 여는 방식으로 외우지 않고, 실제 부등호를 확인했다. >, <는 경계값을 포함하지 않으므로 열린 점, ≥, ≤는 경계값을 포함하므로 닫힌 점이다. 부호를 바꾸는 계산과 경계 포함 여부는 서로 다른 확인 항목이지만, 같은 경계값에 연결되어 있음을 식과 수직선으로 대조했다.

표현이 바뀐 문제에서 다시 세운 첫 판단

다음 문제는 식으로 바로 주어지지 않고, “어떤 수에서 4를 뺀 값의 2배는 그 수의 6배보다 작거나 같다”라는 문장으로 제시했다. 학생은 먼저 미지수를 x로 정하고 문장을 2(x-4) ≤ 6x로 옮겼다. 문장 속 ‘작거나 같다’를 ≤로 표시한 뒤 괄호를 풀어 2x-8 ≤ 6x를 만들었다.

이번에는 양변에서 2x를 빼어 -8 ≤ 4x를 얻었지만, 이전처럼 곧바로 방향을 바꾸지 않았다. 4는 양수이므로 그대로 나누어 -2 ≤ x, 즉 x ≥ -2라고 정리했다. 질문이 “해를 수직선에 나타내라”로 바뀌자 -2를 닫힌 점으로 찍고 오른쪽을 표시했다. 단순히 숫자만 바꾼 연습이 아니라 문장, 식, 수직선 사이의 대응을 확인한 것이다.

힌트 없이 확인한 최종 장면

수업 후반에는 다음 문제를 별도 안내 없이 풀었다.

5-2(3x-1) ≥ 3x+8

학생은 첫 줄에 괄호 앞의 -2를 확인하고 5-6x+2 ≥ 3x+8이라고 전개했다. 양변에서 3x를 빼고 7을 빼어 -9 ≥ 9x를 만든 뒤, 음수인 -9로 나눌 때 부등호를 반대로 해야 한다고 스스로 설명하며 x ≤ -1을 얻었다.

검산도 경계와 안팎으로 나누어 진행했다. x=-1을 대입하면 왼쪽과 오른쪽이 모두 11이므로 경계가 포함된다. 또 해 안쪽인 x=-2에서는 왼쪽 19, 오른쪽 2가 되어 부등식이 성립하고, 해 바깥인 x=0에서는 왼쪽 7, 오른쪽 8이 되어 성립하지 않는다. 학생은 “음수로 나눴으므로 방향을 바꾸고, ≤라서 -1은 닫힌 점이며, 양쪽 값을 넣어 수직선 방향까지 확인했다”고 풀이 이유를 직접 말하며 마무리했다. 관평동중2수학과외에서 확인할 독립적인 재현도 바로 이런 설명과 검산으로 완성된다.