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옥련지구 중3수학과외

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옥련지구 중3수학과외, 접점 조건부터 읽는 원의 성질

옥련지구과외 수업에서 한 학생이 도서관 자습 시간에 풀었던 문제를 가져왔습니다. 옥련지구 생활권의 금호아파트가 있는 주변에서 접할 수 있는 중3수학 문제였지만, 그림을 보는 순간 길이 계산부터 시작한 것이 오답의 출발점이었습니다. 인천신정중학교, 신송중학교 등이 포함된 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 이처럼 계산 전 조건을 선별하는 습관이 중요합니다.

그림보다 먼저 확인할 문장

문제에는 원 O에 바깥 점 P가 있고, P에서 원에 그은 두 선분 PA와 PB가 각각 A, B에서 원에 접한다고 제시되어 있었습니다. 또 PA의 길이가 7cm일 때 PB의 길이를 구하라고 했습니다.

학생은 문제의 ‘두 선분’이라는 표현만 보고 다음과 같이 적었습니다.

PA와 PB는 원 안쪽까지 이어진 선분처럼 보이므로 그림에서 긴 쪽인 PB를 먼저 잰다. PB=9cm.

그 뒤에는 그림의 눈대중으로 PB를 9cm라고 정하고, 답을 9cm로 제출했습니다. 하지만 이 문제는 그림의 길이를 비교하는 문제가 아니라, 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 길이 관계를 판단하는 문제였습니다.

계산 직전 놓친 한 가지

가장 먼저 어긋난 판단은 PA와 PB가 모두 접선인지 확인하지 않은 채 길이를 정한 것입니다. 학생은 P가 공통으로 연결된 점이라는 사실은 읽었지만, A와 B가 각각 접점이라는 조건에는 표시하지 않았습니다. 따라서 두 선분의 모양과 그림의 길이에 의존해 PB를 결정했습니다.

이때 필요한 판단은 하나뿐입니다. P에서 원에 그은 두 선분이 각각 원과 한 점에서 만나고, 그 만나는 점 A와 B가 접점이라는 조건을 확인하는 것입니다. 이 조건이 있으면 두 접선의 길이는 서로 같습니다.

표시 하나로 다시 세운 풀이

풀이 종이에 학생은 그림을 다시 그리고 P, A, B를 표시했습니다. A와 B 옆에는 각각 ‘접점’이라고 적고, P에서 뻗은 PA와 PB 위에는 같은 표시를 했습니다. 그 다음 계산은 새로 복잡하게 만들지 않고, 이미 문제에서 주어진 PA=7cm를 그대로 사용했습니다.

PA와 PB는 P에서 원에 그은 두 접선이다.
따라서 PA=PB.
7=PB이므로 PB=7cm.

처음의 9cm라는 눈대중 값을 지우고, 접점 조건에서 바로 길이 관계를 얻은 것입니다. 여기서 원의 넓이나 현의 길이를 구할 필요는 없고, 다른 각의 크기를 계산할 필요도 없습니다. 이 문제의 기준은 두 접선이 같은 바깥 점에서 출발한다는 조건입니다.

모양을 바꾼 독립 문제

며칠 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾼 문제를 제시했습니다. 원의 오른쪽에 점 Q가 있고, Q에서 원으로 선분 QC와 QD가 그어져 있습니다. 그림은 시계 방향으로 기울어져 있으며, C와 D가 접점이라고 표시되어 있습니다. 이번에는 QC의 길이가 주어진 것이 아니라 다음과 같이 물었습니다.

“QD=11cm일 때 QC의 길이를 구하고, 두 선분 중 어느 것이 더 긴지 설명하시오.”

학생은 예전처럼 그림의 기울기나 선분의 위치를 보지 않았습니다. 먼저 C와 D가 접점인지 확인한 뒤, Q가 두 선분의 공통 출발점임을 표시했습니다.

QC와 QD는 같은 점 Q에서 원에 그은 두 접선이다. 그러므로 QC=QD이다. QD=11cm이므로 QC=11cm이며, 두 선분 중 더 긴 것은 없다.

점 이름이 바뀌고 그림이 회전했으며 질문도 ‘길이 구하기’에서 ‘더 긴 선분 판단하기’로 바뀌었지만, 학생은 같은 조건을 스스로 선택했습니다. 숫자만 대입한 것이 아니라 접점과 공통 출발점을 근거로 적은 점이 달라졌습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다. 원 바깥의 점 R에서 원에 그은 두 선분 RE와 RF가 있고, E와 F는 각각 접점입니다. RF=13cm일 때 RE를 구하라는 문제였습니다. 학생은 식을 바로 쓰지 않고 그림 옆에 먼저 다음 문장을 남겼습니다.

E와 F가 접점이고 두 접선이 R에서 시작하므로 RE=RF이다. 따라서 RE=13cm.

검산할 때도 답 13cm를 단순히 다시 계산하지 않았습니다. 원래 조건인 ‘R에서 그은 두 접선’, ‘E와 F가 접점’을 다시 대조하고, 두 선분의 길이가 같다는 관계에 맞는지 확인했습니다. 이처럼 옥련지구중3수학과외에서는 접선 문제를 만났을 때 그림의 크기보다 먼저 접점과 공통 출발점을 표시하는 한 가지 판단을 고정해 연습합니다.

옥련지구 중3수학과외 학부모 후기

다음 계산 문제를 풀다가 아이가 숫자 몇 개를 손으로 가리고 같은 방식으로 다시 계산하더라고요. 답을 맞혔는지만 보는 게 아니라, 숫자가 달라져도 처음 세운 판단이 그대로 통하는지 확인하는 모습이었어요. 다시 펼쳤을 때 찾기 쉽도록 문제 위치도 따로 남겨두고요. 시험 범위가 나온 저녁, 책상 위에 문제집이며 풀이 종이가 뒤섞여 있길래 잠깐 들여다봤습니다. 그 안에서 아까 풀었던 문제의 숫자 부분을 가린 채 한 번 더 풀고 있더라고요. 예예전에는 해설이나 정답을 먼저 확인한 다음 자기 판단을 되짚는 일이 거의 없었거든요. 옥련지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 가장 눈에 들어왔는데, 이번에는 정답지를 찾기보다 숫자를 가린 문제 앞에서 계산 과정을 다시 이어 갔습니다. 같은 문제를 그대로 외워 푸는지 확인하려는 듯 보였고, 마지막에는 다시 볼 자리를 표시해 두었습니다.

★★★★☆학부모 후기

문제집을 펼쳐 보니 여백 여기저기에 동그라미나 긴 메모 대신 아주 작은 표시만 몇 군데 찍혀 있더라고요. 중간고사를 앞두고 아이가 먼저 찾아둔 흔적이었어요. 계산이 틀린 답을 표시한 게 아니라, 실수가 시작된 자리만 짚어 놓은 모양이라 잠시 들여다봤습니다. 예전에는 처음부터 끝까지 순서대로 다시 풀면서 무엇을 확인해야 할지 따로 가려내지 않았거든요. 이번에는 계산 과정 중 어느 부분에서 꼬였는지만 남겨 두고 그 자리부터 살펴보고 있더라고요. 옥련지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 변화가 눈에 띄었는데, 단원평가를 준비하는 밤에도 같은 방식으로 계산 실수의 출발점에 조그맣게 표시해 두었습니다. 질문할 부분은 지우지 않고 그대로 둔 채 책을 정리하더라고요.

★★★★☆학부모 후기

옥련지구에서 수학과외를 시작한 뒤 수업이 끝나면 아이가 예전처럼 지친 표정으로 바로 쉬기보다, 오늘 헷갈렸던 부분을 먼저 이야기합니다. 숙제를 거의 마치고 한 문제만 남았을 때도 선생님은 틀렸다고 재촉하지 않고 생각이 달라진 지점을 함께 찾아 주셔서 부담을 덜어 주셨습니다. 집에서 복습을 미루던 아이가 이제는 궁금한 내용을 스스로 꺼내는 모습이 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

옥련지구에서 수학 과외를 시작한 뒤, 숙제를 끝내면 바로 덮던 아이가 요즘은 틀린 문제 옆에 풀이를 다시 살펴봅니다. 선생님께서 답을 재촉하지 않고 생각을 정리할 때까지 기다려 주셔서 모르는 부분도 편하게 질문하게 된 것 같습니다. 수업이 있는 날에도 책상을 정리하며 배운 내용을 먼저 이야기하는 모습이 기특했습니다.

★★★★★학부모 후기

옥련지구에서 첫 수업을 지켜보던 날, 낯을 가리던 아이가 선생님 질문에 조금씩 자기 생각을 말하는 모습이 기억에 남았습니다. 막히는 문제도 바로 답을 주지 않고 이해한 부분부터 확인해 주셔서, 시험기간에도 무리하게 진도를 나가기보다 복습하며 따라갈 수 있었습니다. 요즘은 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 먼저 물어보려는 변화가 보여 성적보다 더 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기