옥련지구 중3수학과외

옥련지구 중3수학과외, 접점 조건부터 읽는 원의 성질

옥련지구과외 수업에서 한 학생이 도서관 자습 시간에 풀었던 문제를 가져왔습니다. 옥련지구 생활권의 금호아파트가 있는 주변에서 접할 수 있는 중3수학 문제였지만, 그림을 보는 순간 길이 계산부터 시작한 것이 오답의 출발점이었습니다.

그림보다 먼저 확인할 문장

문제에는 원 O에 바깥 점 P가 있고, P에서 원에 그은 두 선분 PA와 PB가 각각 A, B에서 원에 접한다고 제시되어 있었습니다. 또 PA의 길이가 7cm일 때 PB의 길이를 구하라고 했습니다.

학생은 문제의 ‘두 선분’이라는 표현만 보고 다음과 같이 적었습니다.

PA와 PB는 원 안쪽까지 이어진 선분처럼 보이므로 그림에서 긴 쪽인 PB를 먼저 잰다. PB=9cm.

그 뒤에는 그림의 눈대중으로 PB를 9cm라고 정하고, 답을 9cm로 제출했습니다. 하지만 이 문제는 그림의 길이를 비교하는 문제가 아니라, 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 길이 관계를 판단하는 문제였습니다.

계산 직전 놓친 한 가지

가장 먼저 어긋난 판단은 PA와 PB가 모두 접선인지 확인하지 않은 채 길이를 정한 것입니다. 학생은 P가 공통으로 연결된 점이라는 사실은 읽었지만, A와 B가 각각 접점이라는 조건에는 표시하지 않았습니다. 따라서 두 선분의 모양과 그림의 길이에 의존해 PB를 결정했습니다.

이때 필요한 판단은 하나뿐입니다. P에서 원에 그은 두 선분이 각각 원과 한 점에서 만나고, 그 만나는 점 A와 B가 접점이라는 조건을 확인하는 것입니다. 이 조건이 있으면 두 접선의 길이는 서로 같습니다.

표시 하나로 다시 세운 풀이

풀이 종이에 학생은 그림을 다시 그리고 P, A, B를 표시했습니다. A와 B 옆에는 각각 ‘접점’이라고 적고, P에서 뻗은 PA와 PB 위에는 같은 표시를 했습니다. 그 다음 계산은 새로 복잡하게 만들지 않고, 이미 문제에서 주어진 PA=7cm를 그대로 사용했습니다.

PA와 PB는 P에서 원에 그은 두 접선이다.
따라서 PA=PB.
7=PB이므로 PB=7cm.

처음의 9cm라는 눈대중 값을 지우고, 접점 조건에서 바로 길이 관계를 얻은 것입니다. 여기서 원의 넓이나 현의 길이를 구할 필요는 없고, 다른 각의 크기를 계산할 필요도 없습니다. 이 문제의 기준은 두 접선이 같은 바깥 점에서 출발한다는 조건입니다.

모양을 바꾼 독립 문제

며칠 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾼 문제를 제시했습니다. 원의 오른쪽에 점 Q가 있고, Q에서 원으로 선분 QC와 QD가 그어져 있습니다. 그림은 시계 방향으로 기울어져 있으며, C와 D가 접점이라고 표시되어 있습니다. 이번에는 QC의 길이가 주어진 것이 아니라 다음과 같이 물었습니다.

“QD=11cm일 때 QC의 길이를 구하고, 두 선분 중 어느 것이 더 긴지 설명하시오.”

학생은 예전처럼 그림의 기울기나 선분의 위치를 보지 않았습니다. 먼저 C와 D가 접점인지 확인한 뒤, Q가 두 선분의 공통 출발점임을 표시했습니다.

QC와 QD는 같은 점 Q에서 원에 그은 두 접선이다. 그러므로 QC=QD이다. QD=11cm이므로 QC=11cm이며, 두 선분 중 더 긴 것은 없다.

점 이름이 바뀌고 그림이 회전했으며 질문도 ‘길이 구하기’에서 ‘더 긴 선분 판단하기’로 바뀌었지만, 학생은 같은 조건을 스스로 선택했습니다. 숫자만 대입한 것이 아니라 접점과 공통 출발점을 근거로 적은 점이 달라졌습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다. 원 바깥의 점 R에서 원에 그은 두 선분 RE와 RF가 있고, E와 F는 각각 접점입니다. RF=13cm일 때 RE를 구하라는 문제였습니다. 학생은 식을 바로 쓰지 않고 그림 옆에 먼저 다음 문장을 남겼습니다.

E와 F가 접점이고 두 접선이 R에서 시작하므로 RE=RF이다. 따라서 RE=13cm.

검산할 때도 답 13cm를 단순히 다시 계산하지 않았습니다. 원래 조건인 ‘R에서 그은 두 접선’, ‘E와 F가 접점’을 다시 대조하고, 두 선분의 길이가 같다는 관계에 맞는지 확인했습니다. 이처럼 옥련지구중3수학과외에서는 접선 문제를 만났을 때 그림의 크기보다 먼저 접점과 공통 출발점을 표시하는 한 가지 판단을 고정해 연습합니다.