연수동 중2수학과외

연수동 중2수학과외에서 다룬 일차함수 그래프의 평행 조건

연수동과외 수업에서 학생은 연수중학교가 포함된 생활권의 시험 대비 문제를 풀다가 두 일차함수 그래프가 평행해지는 조건을 찾는 문제를 만났다. 대동아파트와 동춘 먹자골목이 있는 생활권에서 자주 접하는 거리와 요금의 변화를 예로 들 수 있지만, 이번 수업의 중심은 생활 속 상황이 아니라 두 직선의 식과 그래프가 어떻게 대응하는지 확인하는 일이었다.

그래프에서 시작한 첫 풀이

문제에는 다음 두 함수가 제시되어 있었다.

y=(a-2)x+3,　y=4x+a

두 그래프가 평행할 때 실수 a의 값을 구하고, 그 값에서 두 그래프가 실제로 서로 다른지 판단하시오.

학생은 먼저 각 식의 x의 계수를 찾아 첫 번째 직선의 기울기를 a-2, 두 번째 직선의 기울기를 4라고 적었다. 이어서 “평행하려면 기울기가 같아야 한다”고 표시하고 a-2=4를 세워 a=6을 얻었다. 여기까지는 방향이 맞았다. 학생은 두 식에 a=6을 넣어 y=4x+3, y=4x+6이라고 다시 썼고, y절편이 다르므로 두 그래프가 겹치지 않는다는 점도 확인했다.

그런데 이어진 변형 문제에서 풀이가 흔들렸다.

y=(b+1)x-2와 y=5x+c가 평행하고, 첫 번째 그래프가 점 (2,7)을 지난다. b와 c의 관계를 구하시오.

학생은 기울기 조건에서 b+1=5를 세워 b=4까지는 정확히 처리했다. 그러나 c를 구하는 과정에서 점 (2,7)이 두 번째 그래프 위에도 있다고 단정하고 7=5×2+c를 바로 계산했다. 문제에는 첫 번째 그래프가 그 점을 지난다고만 되어 있었는데, 학생은 두 그래프에 같은 점을 자동으로 대응시켰다. 식을 살펴보지 않고 그래프 위 점이라고 판단한 것이 결과가 틀어지기 전의 최초 오류였다.

점의 소속을 식으로 확인하기

교정은 한 가지 판단만 바로잡는 데 집중했다. “점이 어느 그래프 위에 있는가”를 말로 넘기지 않고, 반드시 해당 그래프의 식에 좌표를 대입해 확인하도록 했다. 첫 번째 식에 (2,7)을 넣으면 7=(b+1)×2-2가 되고, b=4일 때 오른쪽은 8이므로 실제로는 7이 나오지 않는다. 따라서 학생이 적어 둔 조건 자체와 좌표가 서로 맞지 않는다는 사실이 먼저 드러난다. 점이 첫 번째 그래프 위에 있다는 조건이라면 b는 기울기 조건에서 얻은 4와 동시에 성립할 수 없다.

학생은 여기서 기울기 조건과 점 조건을 섞어 임의로 c를 정하지 않고, 각 조건이 어느 식에 적용되는지 다시 표시했다. 두 그래프가 평행하다는 조건은 x의 계수에만 적용하고, 점 조건은 명시된 첫 번째 식에만 대입해야 한다는 구분을 풀이 옆에 남겼다. 이미 맞았던 b+1=5라는 과정은 그대로 유지했다.

문장 대신 표와 식으로 바꾼 적용

다음 문제는 식을 직접 주지 않고 변화량 표와 절편 조건으로 제시되었다.

직선 P는 x가 1 증가할 때 y가 3 증가하고 점 (0,-4)를 지난다. 직선 Q는 y=3x+k로 나타낼 때 P와 평행하다. 단, P와 Q가 같은 직선이 되지 않도록 k를 정하시오.

학생은 먼저 표의 x 변화량 1과 y 변화량 3을 이용해 P의 기울기를 3이라고 적었다. Q의 기울기도 3이므로 계수 비교만으로 평행 조건은 이미 만족된다고 판단했다. 그다음 P의 절편은 (0,-4)의 y좌표이므로 P의 식을 y=3x-4로 정리했다. Q의 식 y=3x+k에서 k=-4이면 두 식이 완전히 같아지는 예외가 생기므로, k는 -4가 아니어야 한다고 설명했다.

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 변화량 표를 식으로 옮기고, 평행과 일치의 경계를 구분하는 문제였다. 학생은 “기울기가 같으면 평행”이라고만 쓰지 않고, 기울기가 같고 절편이 다르면 서로 다른 평행선, 기울기와 절편이 모두 같으면 같은 직선이라고 조건을 나누어 적었다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에는 부호와 조건의 위치를 바꾼 독립 문제를 제시했다.

y=(2-t)x+1과 y=-3x+q가 서로 다른 평행선일 때 t의 값과 q의 조건을 구하시오. 또한 두 번째 그래프가 점 (1,0)을 지나는지 확인하시오.

학생은 도움을 기다리지 않고 첫 줄에 “평행 여부는 먼저 x의 계수, 같은 직선 여부는 절편을 비교한다”고 썼다. 2-t=-3에서 t=5를 얻은 뒤 두 식을 y=-3x+1, y=-3x+q로 바꾸었다. 서로 다른 평행선이 되려면 q≠1이라고 설명했다. 이어 점 (1,0)을 두 번째 식에 직접 대입해 0=-3+q이므로 q=3일 때만 그 점을 지난다고 검산했다.

학생은 마지막으로 q=3이면 두 절편이 1과 3으로 다르므로 평행 조건과 점 조건이 함께 성립한다고 말했다. 반대로 q=1이면 같은 식이 되어 서로 다른 평행선이라는 조건을 위반한다고 덧붙였다. 연수동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 자체보다, 경계값을 먼저 세우고 점의 소속은 좌표 대입으로 확인하며 예외 조건까지 분리해 설명한 데 있었다.