연수동 고2수학과외







두 풀이의 갈림길: 등비수열의 공비 부호
학생의 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
등비수열의 일반항을
an=Arn-1이라 하자.
a3=12,a5=48이므로
Ar2=12,Ar4=48이다.
두 식을 나누면r2=4, 따라서r=2이다.
계산 과정은 자연스럽지만, 마지막 판단에서 공비 하나를 빠뜨렸다. r2=4의 해는 r=2뿐 아니라 r=-2도 포함하기 때문이다.
한 식에서 조건을 다시 읽기
두 항의 지수 차이가 짝수이면 공비의 제곱만 결정될 수 있다.
a5/a3=r2=48/12=4
그러므로 가능한 공비는
r=2 또는 r=-2
이다. 이때 첫째 항은 Ar2=12에서 두 경우 모두 A=3으로 정해진다.
두 일반항 비교
| 공비 | 일반항 | 항의 일부 |
|---|---|---|
r=2 | an=3·2n-1 | 3, 6, 12, 24, 48 |
r=-2 | an=3·(-2)n-1 | 3, -6, 12, -24, 48 |
두 수열 모두 세 번째 항은 12, 다섯 번째 항은 48이다. 따라서 조건을 만족하는 일반항은 하나가 아니라 두 개다.
새 문제에서 같은 누락이 반복되는가
다음 문제를 확인한다.
문제: 등비수열 {an}에서 a2=-6, a6=-96일 때 가능한 일반항을 모두 구하여라.
지수 차이가 만드는 조건
a6/a2=r4=(-96)/(-6)=16
따라서 r4=16이고, 실수 공비는 r=2 또는 r=-2이다. 네제곱 역시 양의 공비와 음의 공비를 구별하지 못한다.
각 경우의 첫째 항
a2=Ar=-6을 사용한다.
r=2이면A=-3이므로an=-3·2n-1r=-2이면A=3이므로an=3·(-2)n-1
두 식 모두 두 번째 항은 -6이고 여섯 번째 항은 -96이다. 따라서 가능한 일반항을 하나만 제시하면 조건을 완전히 해결한 것이 아니다.
연수동과외에서 점검할 판단 기준
등비수열 문제에서 항의 지수 차이가 짝수이면 먼저 r2 또는 r4가 구해지는지 살펴야 한다. 그 값이 양수라면 실수 범위에서 공비의 부호가 두 가지인지 확인한다.
마지막에는 구한 일반항을 주어진 두 항에 직접 대입한다. 계산 결과뿐 아니라 가능한 공비를 모두 남겼는지가 최종 검증의 핵심이다.
특수한 예와 일반적인 성질을 나누기
쉽게 계산되는 숫자로 확인한 결과가 모든 경우에 성립한다고 볼 수는 없습니다. 현재 단원에서 숫자 예시로 이해한 부분과 조건을 근거로 설명한 부분을 구분해 보세요. 일반적인 설명이 어려운 지점은 어떤 성질이 필요한지 수업에서 질문하는 출발점이 됩니다.
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현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
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고2 점검 기준
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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|---|---|---|
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