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연수동 고2수학과외

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두 풀이의 갈림길: 등비수열의 공비 부호

학생의 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.

등비수열의 일반항을 an=Arn-1이라 하자.
a3=12, a5=48이므로
Ar2=12, Ar4=48이다.
두 식을 나누면 r2=4, 따라서 r=2이다.

계산 과정은 자연스럽지만, 마지막 판단에서 공비 하나를 빠뜨렸다. r2=4의 해는 r=2뿐 아니라 r=-2도 포함하기 때문이다.

한 식에서 조건을 다시 읽기

두 항의 지수 차이가 짝수이면 공비의 제곱만 결정될 수 있다.

a5/a3=r2=48/12=4

그러므로 가능한 공비는

r=2 또는 r=-2

이다. 이때 첫째 항은 Ar2=12에서 두 경우 모두 A=3으로 정해진다.

두 일반항 비교

공비일반항항의 일부
r=2an=3·2n-13, 6, 12, 24, 48
r=-2an=3·(-2)n-13, -6, 12, -24, 48

두 수열 모두 세 번째 항은 12, 다섯 번째 항은 48이다. 따라서 조건을 만족하는 일반항은 하나가 아니라 두 개다.

새 문제에서 같은 누락이 반복되는가

다음 문제를 확인한다.

문제: 등비수열 {an}에서 a2=-6, a6=-96일 때 가능한 일반항을 모두 구하여라.

지수 차이가 만드는 조건

a6/a2=r4=(-96)/(-6)=16

따라서 r4=16이고, 실수 공비는 r=2 또는 r=-2이다. 네제곱 역시 양의 공비와 음의 공비를 구별하지 못한다.

각 경우의 첫째 항

a2=Ar=-6을 사용한다.

  • r=2이면 A=-3이므로 an=-3·2n-1
  • r=-2이면 A=3이므로 an=3·(-2)n-1

두 식 모두 두 번째 항은 -6이고 여섯 번째 항은 -96이다. 따라서 가능한 일반항을 하나만 제시하면 조건을 완전히 해결한 것이 아니다.

연수동과외에서 점검할 판단 기준

등비수열 문제에서 항의 지수 차이가 짝수이면 먼저 r2 또는 r4가 구해지는지 살펴야 한다. 그 값이 양수라면 실수 범위에서 공비의 부호가 두 가지인지 확인한다.

마지막에는 구한 일반항을 주어진 두 항에 직접 대입한다. 계산 결과뿐 아니라 가능한 공비를 모두 남겼는지가 최종 검증의 핵심이다.

특수한 예와 일반적인 성질을 나누기

쉽게 계산되는 숫자로 확인한 결과가 모든 경우에 성립한다고 볼 수는 없습니다. 현재 단원에서 숫자 예시로 이해한 부분과 조건을 근거로 설명한 부분을 구분해 보세요. 일반적인 설명이 어려운 지점은 어떤 성질이 필요한지 수업에서 질문하는 출발점이 됩니다.

지난 단원을 다시 볼 시점 정하기

고2 진도가 진행되면서 이전 단원을 오래 펼치지 못했다면 대표 문제로 기억 상태를 확인해 보세요. 처음부터 전체를 재학습하기보다 설명 없이 시작할 수 있는 부분과 다시 확인할 부분을 나눕니다. 현재 진도에 영향을 주는 연결 개념을 먼저 복습 대상으로 삼을 수 있습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

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학교급방문 수업화상 수업
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