송도동 중1수학과외
송도동 중1수학과외에서 살펴본 직선 표현의 전환
송도동 금호아파트와 더샵퍼스트파크13단지가 있는 생활권, 인천신정중학교가 포함된 지역에서 단원평가를 앞둔 학생과 직선 문제를 확인했다. 문제는 같은 직선을 여러 방식으로 나타내고, 그림에 표시된 점과 선의 관계를 읽어 식이나 문장으로 바꾸는 유형이었다. 송도동과외 수업에서는 계산보다 먼저 그림의 표시와 직선의 정의가 일치하는지 살펴보도록 했다.
그림에서 식으로 옮기는 순간 생긴 오류
학생은 직선 위에 점 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 차례로 놓인 그림을 보고 곧바로 “ㄱㄴ=ㄴㄷ”이라고 적었다. 이어 ㄱㄷ의 길이를 두 부분의 합으로 나타내려 했지만, 그림에는 ㄱㄴ과 ㄴㄷ의 길이가 같다는 표시가 없었다. 학생은 선분이 비슷한 길이로 보인다는 이유로 같은 값을 사용한 것이다.
“그림에서 보이는 모양을 그대로 믿고 식을 만든 것이 첫 판단의 문제였어요. 표시된 것과 눈으로 추측한 것을 나누어 봅시다.”
교정할 때는 이미 알고 있던 선분의 합 관계는 그대로 두고, 등호를 쓰기 전에 표시를 확인하게 했다. 학생은 그림에서 실제로 주어진 것은 세 점이 한 직선 위에 있다는 점과 ㄴ이 ㄱ과 ㄷ 사이에 있다는 위치뿐임을 다시 표시했다. 따라서 ㄱㄷ은 ㄱㄴ과 ㄴㄷ을 이어 만든 전체 선분이므로 ㄱㄷ=ㄱㄴ+ㄴㄷ이라고 적었다. 길이가 같다는 표시는 없으므로 ㄱㄴ=ㄴㄷ은 쓸 수 없다고 옆에 덧붙였다.
한 표현을 다른 표현으로 바꾸어 확인하기
다음에는 같은 관계를 문장으로 제시했다. “점 라는 점 마와 바 사이에 있고, 라마의 길이는 4cm, 라바의 길이는 7cm이다. 라바를 포함하는 전체 선분의 길이는?” 학생은 그림 없이도 먼저 점의 순서를 수직선처럼 적었다.
라 ─ 마 ─ 바
그 뒤 전체 구간이 라마와 마바로 나뉜다는 문장을 식으로 바꾸어 4+7을 계산했다. 이때 단위를 빠뜨리지 않고 11cm라고 답했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 앞에서는 그림의 표시를 식으로 바꾸었고 이번에는 문장 속 위치 관계를 선분 그림과 식으로 연결한 점이 달랐다.
또 다른 문제에서는 점의 이름과 그림 방향을 바꾸어 바, 다, 라가 한 직선 위에 놓이고 다가 가운데에 표시되었다. 학생은 이전 그림의 왼쪽에서 오른쪽 순서를 복사하지 않고, 새 그림의 실제 위치를 먼저 읽었다. 바라를 전체 선분으로 보고 바다와 다라를 더하는 식을 세웠다. 그림이 뒤집혀도 선분의 전체와 부분 관계는 달라지지 않는다는 것을 식으로 확인한 것이다.
표시와 정의를 함께 대조한 독립 풀이
마지막 확인 문제에는 직선 위에 세 점이 있었지만 길이 표시는 하나도 없었다. 질문은 “어떤 선분이 두 부분 선분의 합으로 나타나는가?”였다. 학생은 힌트 없이 가운데 점을 찾고, 양 끝 점을 연결한 선분을 전체로 정했다. 이어 가운데 점을 기준으로 나뉜 두 선분을 적어 양 끝 점을 이은 선분 = 왼쪽 부분 선분 + 오른쪽 부분 선분이라고 설명했다.
- 점들이 같은 직선 위에 있다는 표시를 먼저 확인했다.
- 가운데 점이 두 끝점 사이에 있는지 그림에서 대조했다.
- 길이가 같다는 표시가 없으면 임의로 등호를 만들지 않았다.
- 구한 전체 길이를 두 부분의 합과 다시 비교했다.
학생은 “직선의 방향이나 점 이름이 바뀌어도, 실제로 표시된 위치와 정의를 먼저 읽어야 한다”고 자신의 풀이 근거를 말한 뒤 새 문제를 끝까지 재현했다. 송도동중1수학과외에서는 이처럼 직선 그림을 문장과 식으로 바꾸는 과정에서 생긴 첫 판단을 찾아 바로잡고, 바뀐 표현에서도 같은 관계를 스스로 확인하도록 지도한다.