LearnMap

송도국제도시 중3수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

송도국제도시 중3수학과외, 기준각부터 읽는 높이와 거리

송도국제도시과외 수업에서 높이와 거리 문제를 시간 제한 안에 풀던 학생의 풀이를 살펴보았습니다. 송도국제도시 생활권이나 금호아파트 인근에서 접할 수 있는 건물 높이 문제처럼 보였지만, 이번 학습의 초점은 계산 속도가 아니었습니다. 주어진 기준각에서 어떤 두 변을 연결해 삼각비를 정할 것인가가 핵심이었습니다. 인천신정중학교가 포함된 생활권의 중3 학습에서도 같은 판단을 요구하는 문제를 만날 수 있습니다.

계산보다 앞서 적은 식

문제에는 지면의 한 점 P에서 건물 꼭대기 T를 올려 본 각이 35°, P에서 건물 밑 A까지의 수평거리가 18m라고 되어 있었습니다. 건물은 지면에 수직이고, A와 T를 잇는 높이를 구하는 상황입니다. 학생은 그림에 직각 표시를 한 뒤 P에서 바라보는 각을 35°라고 표시했습니다.

그런데 첫 기록은 다음과 같았습니다.

“높이를 구해야 하니까 빗변과 높이를 쓰는 sin 35°를 이용한다. sin 35°＝18／AT, 따라서 AT＝18／sin 35°.”

학생은 계산기에서 sin 35°를 입력하고 값을 구하려 했습니다. 계산 자체보다 먼저 확인했어야 할 것은 35°를 기준으로 18m가 어떤 변인지였습니다. 18m는 각 P에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 각의 옆에 놓인 수평변이고, AT는 각 P의 맞은편에 있는 높이입니다.

첫 선택이 어긋난 순간

처음 잘못된 판단은 sin을 계산한 일이 아니라, 기준각을 기준으로 변의 역할을 확인하기 전에 삼각비를 골라 버린 것이었습니다. 이 선택 때문에 18m를 빗변처럼 식에 넣게 되었고, 이후 계산을 아무리 정확히 해도 문제의 삼각형과 맞지 않게 됩니다. 실제 직각삼각형에서 빗변은 PT이며, 주어진 18m는 PA입니다.

수업에서는 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고 한 행동만 바꾸었습니다. 계산 직전에 각 P를 동그라미로 표시하고, 그 각을 기준으로 필요한 두 변에 이름을 붙이게 했습니다.

“기준각 P에서 맞은편은 AT, 옆변은 PA＝18m이므로 높이와 수평거리를 함께 쓰는 tan을 선택한다.”

이 한 줄 뒤에 학생은 이미 그려 둔 그림과 직각 표시를 그대로 유지했습니다. 이어서

tan 35°＝AT／18

이라고 세우고, AT＝18tan35°로 계산했습니다. 여기서 중요한 것은 특정 삼각비를 외워 고르는 것이 아니라, 기준각에서 미지변과 주어진 변이 각각 어느 위치에 있는지 확인한 뒤 선택했다는 점입니다.

그림이 뒤집혀도 같은 기준으로

다음 문제는 그림의 방향을 바꾸었습니다. 전망대 꼭대기 T에서 지면의 점 P를 내려다본 각이 28°이고, 전망대 밑 A에서 P까지의 거리가 24m였습니다. 이번에는 각이 위쪽 T에 표시되어 있고, 구하려는 것은 TP가 아니라 수평거리 AP였습니다.

학생은 먼저 직각삼각형을 옮겨 그리지 않고 원래 그림에 각 T를 표시했습니다. 각 T에서 AP는 맞은편 변이고, TP는 옆에 있는 변입니다. 따라서 두 변을 직접 연결하는 비는 tan이므로

tan 28°＝AP／TP

가 됩니다. 만약 TP가 40m로 주어졌다면 AP＝40tan28°로 나타낼 수 있습니다. 앞 문제처럼 높이를 분자에 두는 것이 아니라, 이번에는 기준각에서 맞은편인 AP를 분자에 둡니다. 식의 모양이 달라졌지만 판단 기준은 변하지 않았습니다.

  • 먼저 각을 표시한다.
  • 그 각에서 맞은편 변과 옆변을 구분한다.
  • 구하려는 변과 주어진 변을 연결하는 삼각비를 고른다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 도움 없이 새 문제를 제시했습니다. 길이 15m인 경사로가 지면과 이루는 각은 32°이고, 경사로의 끝점과 지면 사이의 수직 높이를 구하는 문제였습니다. 학생은 경사로가 직각삼각형의 빗변이라는 점을 그림에 표시하고, 32°를 기준각으로 잡았습니다. 높이는 기준각의 맞은편, 경사로는 빗변이므로 두 변을 연결하는 sin을 선택했습니다.

sin 32°＝높이／15라고 세운 뒤 높이를 15sin32°로 구했습니다. 이어 계산한 길이를 원래 그림에 대입해 “15m인 빗변보다 높이가 길어질 수 없고, 32°에서 맞은편 변이므로 높이는 15보다 작아야 한다”고 설명했습니다. 계산 결과도 그 조건을 만족했습니다.

송도국제도시중3수학과외에서 확인한 변화는 삼각비 공식을 더 많이 적은 것이 아닙니다. 새 그림에서도 기준각을 먼저 찾고, 그 각에서 변의 역할을 정한 뒤 비를 선택하는 순서를 스스로 재현했다는 점입니다.

송도국제도시 중3수학과외 학부모 후기

숙제 제출 전날이라 책상 위 문제집을 잠깐 봤는데, 어려운 문제 옆에 별표가 아니라 계산식 중간 부분을 가리키는 숫자가 적혀 있더라고요. 그날 공부를 마친 뒤 남겨둔 흔적이었어요. 송도국제도시 수학과외 이야기를 나누며 보게 된 장면인데, 이런 식으로 적어둔 건 처음이라 눈에 띄었습니다. 원래는 풀이 중간에 멈춰도 최종 답만 써놓는 편이었거든요. 그런데 이번에는 어느 계산 줄을 다시 살펴야 하는지 따로 남겨두었어요. 다른 긴 문장이 있는 문제를 풀 때도 같은 식으로 확인할 부분과 아직 살피지 못한 부분을 나눠 표시해두었고요. 단순히 어렵다고 표시한 게 아니라, 다시 볼 위치가 계산 과정 안에 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

월요일 아침 가방을 챙기던 아이가 문제집을 그냥 넘기지 않고 한참 들여다보더라고요. 방정식에서 나온 값을 원래 식에 대입해 보면서 맞는 해인지 확인하고 있었습니다. 출발 준비 중이라 왜 저러나 싶어 잠깐 봤는데, 답만 맞으면 넘어가던 모습과는 달랐어요. 전에는 틀린 흔적을 발견해도 그 부분만 보고 앞뒤 계산은 다시 이어 보지 않았거든요. 그런데 이번에는 구해 둔 값들을 하나씩 식에 넣어 보며 실제로 남는 답을 가려내고 있더라고요. 송도국제도시 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 행동이 보일까 궁금했는데, 집에서 자연스럽게 확인하는 모습이 먼저 눈에 띄었습니다. 서술형 숙제를 적던 밤에도 같은 방식으로 후보 값을 원래 식에 대입해 보더라고요. 확인이 끝난 곳에는 길게 적지 않고 작은 표시 하나만 남겨 두었습니다. 풀이를 처음부터 다시 쓰기보다, 어느 지점에서 답을 걸러냈는지가 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

송도국제도시에서 과외를 시작한 첫날, 저는 아는 문제도 답이 맞는지 몇 번씩 확인하며 선생님 눈치를 봤습니다. 선생님은 바로 답을 알려주지 않고 제가 어디까지 이해했는지 차분히 물어보며 서두르지 않게 이끌어 주셨습니다. 이제는 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 먼저 질문해 보려는 제 모습이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 송도국제도시 과외가 예전처럼 부담스럽지 않다고 말해 마음이 놓였습니다. 숙제를 거의 마치고 한 문제만 남았을 때도 선생님은 틀렸다고 바로 지적하지 않고 생각이 달라진 지점을 함께 찾아보며 스스로 풀 시간을 주셨습니다. 요즘은 수업 중 궁금했던 내용을 먼저 이야기하는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기

송도국제도시에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 숙제를 펼치기까지 오래 걸렸고, 어려운 문제는 금세 포기하곤 했습니다. 선생님은 컨디션에 따라 문제 수를 줄이고 핵심만 다루면서도, 틀린 문제를 덮지 않고 스스로 다시 풀어보게 했습니다. 요즘은 모르는 부분을 선생님께 다시 설명해 달라고 편하게 말하는 모습이 보여 흐뭇합니다.

★★★★★학부모 후기