송도국제도시 중3수학과외

송도국제도시 중3수학과외, 기준각부터 읽는 높이와 거리

주어진 기준각에서 어떤 두 변을 연결해 삼각비를 정할 것인가가 핵심이었습니다.

계산보다 앞서 적은 식

문제에는 지면의 한 점 P에서 건물 꼭대기 T를 올려 본 각이 35°, P에서 건물 밑 A까지의 수평거리가 18m라고 되어 있었습니다. 건물은 지면에 수직이고, A와 T를 잇는 높이를 구하는 상황입니다. 학생은 그림에 직각 표시를 한 뒤 P에서 바라보는 각을 35°라고 표시했습니다.

그런데 첫 기록은 다음과 같았습니다.

“높이를 구해야 하니까 빗변과 높이를 쓰는 sin 35°를 이용한다. sin 35°＝18／AT, 따라서 AT＝18／sin 35°.”

학생은 계산기에서 sin 35°를 입력하고 값을 구하려 했습니다. 계산 자체보다 먼저 확인했어야 할 것은 35°를 기준으로 18m가 어떤 변인지였습니다. 18m는 각 P에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 각의 옆에 놓인 수평변이고, AT는 각 P의 맞은편에 있는 높이입니다.

첫 선택이 어긋난 순간

처음 잘못된 판단은 sin을 계산한 일이 아니라, 기준각을 기준으로 변의 역할을 확인하기 전에 삼각비를 골라 버린 것이었습니다. 이 선택 때문에 18m를 빗변처럼 식에 넣게 되었고, 이후 계산을 아무리 정확히 해도 문제의 삼각형과 맞지 않게 됩니다. 실제 직각삼각형에서 빗변은 PT이며, 주어진 18m는 PA입니다.

수업에서는 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고 한 행동만 바꾸었습니다. 계산 직전에 각 P를 동그라미로 표시하고, 그 각을 기준으로 필요한 두 변에 이름을 붙이게 했습니다.

“기준각 P에서 맞은편은 AT, 옆변은 PA＝18m이므로 높이와 수평거리를 함께 쓰는 tan을 선택한다.”

이 한 줄 뒤에 학생은 이미 그려 둔 그림과 직각 표시를 그대로 유지했습니다. 이어서

tan 35°＝AT／18

이라고 세우고, AT＝18tan35°로 계산했습니다. 여기서 중요한 것은 특정 삼각비를 외워 고르는 것이 아니라, 기준각에서 미지변과 주어진 변이 각각 어느 위치에 있는지 확인한 뒤 선택했다는 점입니다.

그림이 뒤집혀도 같은 기준으로

다음 문제는 그림의 방향을 바꾸었습니다. 전망대 꼭대기 T에서 지면의 점 P를 내려다본 각이 28°이고, 전망대 밑 A에서 P까지의 거리가 24m였습니다. 이번에는 각이 위쪽 T에 표시되어 있고, 구하려는 것은 TP가 아니라 수평거리 AP였습니다.

학생은 먼저 직각삼각형을 옮겨 그리지 않고 원래 그림에 각 T를 표시했습니다. 각 T에서 AP는 맞은편 변이고, TP는 옆에 있는 변입니다. 따라서 두 변을 직접 연결하는 비는 tan이므로

tan 28°＝AP／TP

가 됩니다. 만약 TP가 40m로 주어졌다면 AP＝40tan28°로 나타낼 수 있습니다. 앞 문제처럼 높이를 분자에 두는 것이 아니라, 이번에는 기준각에서 맞은편인 AP를 분자에 둡니다. 식의 모양이 달라졌지만 판단 기준은 변하지 않았습니다.

• 먼저 각을 표시한다.
• 그 각에서 맞은편 변과 옆변을 구분한다.
• 구하려는 변과 주어진 변을 연결하는 삼각비를 고른다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 도움 없이 새 문제를 제시했습니다. 길이 15m인 경사로가 지면과 이루는 각은 32°이고, 경사로의 끝점과 지면 사이의 수직 높이를 구하는 문제였습니다. 학생은 경사로가 직각삼각형의 빗변이라는 점을 그림에 표시하고, 32°를 기준각으로 잡았습니다. 높이는 기준각의 맞은편, 경사로는 빗변이므로 두 변을 연결하는 sin을 선택했습니다.

sin 32°＝높이／15라고 세운 뒤 높이를 15sin32°로 구했습니다. 이어 계산한 길이를 원래 그림에 대입해 “15m인 빗변보다 높이가 길어질 수 없고, 32°에서 맞은편 변이므로 높이는 15보다 작아야 한다”고 설명했습니다. 계산 결과도 그 조건을 만족했습니다.

송도국제도시중3수학과외에서 확인한 변화는 삼각비 공식을 더 많이 적은 것이 아닙니다. 새 그림에서도 기준각을 먼저 찾고, 그 각에서 변의 역할을 정한 뒤 비를 선택하는 순서를 스스로 재현했다는 점입니다.