송도국제도시 중1수학과외

그림의 모양보다 각의 꼭짓점과 변을 먼저 읽는 연습

이 생활권의 중1 수학 학습에서 자주 다루는 내용 가운데 하나는 그림에 표시된 각의 꼭짓점과 변을 정확히 찾아 조건에 맞는 각을 고르는 일이다.

답이 틀어지기 시작한 한 줄

문제에는 삼각형 ABC와 선분 BD가 그려져 있었고, ∠ABD와 크기가 같은 각을 고르라는 조건이 제시되어 있었다. 그림에서 B를 꼭짓점으로 하는 각이 두 개 보였으며, 한쪽 각에는 같은 모양의 짧은 표시가 있었다. 학생은 답안에 “∠ABC와 같은 각은 ∠ABD”라고 적은 뒤, 보기의 각 이름을 비교하기 시작했다.

계산을 잘못한 것이 아니라, 가장 먼저 확인해야 할 각의 구조를 건너뛴 것이 문제였다. ∠ABD에서 가운데 글자인 B가 꼭짓점이고, 두 변은 BA와 BD이다. 그런데 학생은 각 이름의 가운데 글자를 확인하기 전에 그림의 방향과 선분의 길이를 보고 비슷한 모양을 골랐다. 실제로 표시된 각의 크기나 변의 위치보다 그림 전체의 외형을 먼저 믿은 셈이었다.

표시와 정의를 한 줄씩 대조하다

학생의 풀이 중 맞았던 부분인 ‘각의 이름을 세 글자로 적는 것’은 그대로 두었다. 대신 문제 옆에 작은 확인표를 만들었다.

• 첫째, 각의 가운데 글자가 꼭짓점인지 확인한다.
• 둘째, 가운데 글자와 양끝 글자를 연결하는 두 변을 찾는다.
• 셋째, 그림에 실제로 표시된 호나 같은 표시가 어느 각에 붙어 있는지 대조한다.

이 기준으로 ∠ABD를 다시 읽자 B가 꼭짓점이고 BA, BD가 두 변이라는 사실이 분명해졌다. 이어서 그림의 표시가 붙은 부분을 손가락으로 짚고, 그 부분의 꼭짓점이 B인지 확인했다. 표시가 있다고 해서 주변의 모든 각이 같은 것이 아니라, 표시가 놓인 두 변 사이의 각만 조건에 해당한다는 점도 답안 옆에 적었다.

그 뒤 보기의 각 이름을 하나씩 지웠다. 가운데 글자가 B가 아닌 것은 바로 제외하고, 가운데 글자가 B인 각만 남긴 다음 양쪽 글자가 실제 두 변과 일치하는지 살폈다. 그림을 돌려 보거나 선분의 길이를 비교하지 않고, 주어진 정의와 표시만 사용해 선택했다.

방향을 바꾼 그림에서 조건부터 세우기

다음 문제는 같은 도형을 오른쪽으로 돌려 놓고 점의 이름도 P, Q, R, S로 바꾼 형태였다. 질문은 “표시된 각의 한 변이 QR일 때, 그 각을 세 글자로 나타내라”로 바뀌었다. 학생은 이번에는 답부터 쓰지 않고 표시된 호에 닿은 두 선분을 먼저 확인했다. 한 변은 QR, 다른 한 변은 QP였으며 두 선분이 만나는 점은 Q였다.

학생은 “꼭짓점은 두 변이 만나는 점이므로 Q이고, 양끝에는 P와 R을 쓴다”고 적었다. 따라서 ∠PQR 또는 ∠RQP처럼 가운데에 Q가 오는 표현을 후보로 세웠다. 반면 ∠QPR은 가운데 글자가 P이므로 표시된 각을 나타내지 못한다고 직접 제외했다. 도형의 방향과 점의 이름이 달라졌지만, 각의 꼭짓점과 두 변을 확인하는 순서는 달라지지 않았다.

조건을 문장으로 바꾸어 다시 적용한 장면

이번에는 그림 없이 “점 T에서 시작하는 두 반직선 TU와 TV가 이루는 각”이라는 문장만 제시했다. 학생은 문장 속 ‘점 T에서 시작하는’이라는 표현에 밑줄을 긋고, 두 변 TU와 TV가 T에서 만난다고 정리했다. 그런 다음 꼭짓점 T를 가운데에 넣어 ∠UTV라고 썼다. 질문을 “각의 이름을 쓰시오”에서 “꼭짓점과 두 변을 각각 말하시오”로 바꾸어도 “꼭짓점은 T, 두 변은 TU와 TV”라고 같은 근거를 설명했다.

이 과정에서 그림의 방향이나 선분의 길이는 판단 자료가 아니며, 실제로 주어진 선과 각의 표시, 그리고 각 이름의 가운데 글자가 핵심이라는 점을 확인했다.

힌트 없이 완성한 검증

마지막 검증 문제에는 보기와 해설을 가리고, 여러 선분이 겹친 그림만 남겼다. 학생은 먼저 표시된 호를 찾아 그 호의 양끝이 닿은 선분을 확인했다. 두 선분이 만나는 점을 꼭짓점으로 표시하고, 그 점에 동그라미를 친 뒤 양쪽 점의 이름을 읽었다. 학생은 답을 쓰기 전에 “가운데 글자는 반드시 꼭짓점이어야 하며, 양끝 글자는 표시된 두 변의 끝점이어야 한다”고 스스로 말했다.

작성한 각의 이름을 그림에 다시 대입해 보니 두 변이 정확히 표시된 호와 만났고, 다른 후보는 가운데 글자가 꼭짓점이 아니거나 한 변이 달랐다. 학생은 처음에 그림의 모양을 먼저 보고 판단했던 이유까지 되짚으며, “이제는 각의 크기를 추측하지 않고 꼭짓점, 두 변, 실제 표시를 차례로 확인하겠다”고 풀이 아래에 적었다. 정답 자체보다 첫 판단의 근거와 원래 그림에 다시 맞춰 본 검증 과정이 남은 순간이었다.