동춘동 중2수학과외

두 일차함수 그래프의 평행 조건을 거꾸로 확인한 수업

동춘동과외 수업에서 학생은 두 일차함수의 그래프가 평행하도록 하는 값을 찾는 문제를 풀었다. 동춘동중2수학과외를 진행하며 살펴본 문제에는 한 직선이 y=2x+3으로 주어지고, 다른 직선은 y=ax-1로 제시되어 있었다. 학생은 두 그래프가 평행하려면 어떤 값을 정해야 하는지 계산한 뒤, 친구가 적어 둔 풀이와 자신의 풀이를 비교했다. 청량중학교와 연성중학교, 인천여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 일차함수 문제 유형이지만, 이번에는 정답보다 풀이가 갈라진 최초의 순간을 찾는 데 초점을 맞췄다.

완성된 풀이를 뒤에서부터 되짚다

학생의 답은 맞지 않았지만 마지막 계산만 보면 특별한 문제가 없어 보였다. 그래서 풀이를 마지막 줄부터 거꾸로 읽었다. 학생은 먼저 두 직선이 지나는 점을 표시하고, 그 점을 이용해 두 번째 식의 기울기를 구했다. 이어서 친구의 풀이와 한 줄씩 대조하며 계산 결과가 달라진 첫 지점을 동그라미로 표시했다.

“여기서부터 값이 달라졌는데, 계산을 다시 하기 전에 이 점이 정말 그래프 위에 있는지 확인해야 해요.”

학생이 처음 적은 메모에는 두 번째 그래프의 점이 그림에 표시되어 있다는 이유만으로 (1, 2)를 식 y=ax-1 위의 점이라고 단정한 흔적이 있었다. 하지만 그림에서 대략 그렇게 보인다는 것과 좌표가 실제 식을 만족한다는 것은 달랐다. 학생은 점을 식에 대입하지 않은 채, 그 점과 다른 점의 높이 차이를 세어 기울기를 정했다. 그 뒤의 뺄셈과 나눗셈은 일관되었지만, 출발점이 이미 확인되지 않은 상태였다.

처음 어긋난 한 줄만 바로잡기

교정은 풀이 전체를 지우는 방식으로 진행하지 않았다. 학생이 적어 둔 두 점 중 하나를 식에 직접 넣게 했다. (1, 2)를 대입하면 2=a-1이므로 a=3이어야 한다. 따라서 그림에서 읽은 점은 주어진 식의 계수와 맞지 않거나, 좌표를 잘못 읽은 것이다.

그다음 학생은 평행 조건을 그래프의 모양이 아니라 식의 기울기로 다시 적었다. y=2x+3의 기울기는 2이고, y=ax-1의 기울기는 a이다. 두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 하므로 a=2이다. 절편이 3과 -1로 다르기 때문에 두 식은 같은 직선이 아니라 서로 다른 평행선이 된다.

이때 이미 맞게 사용한 계산 방식은 유지했다. 다만 점을 그래프에서 읽었다고 바로 인정하지 않고, 반드시 해당 식에 좌표를 넣어 확인하는 한 줄을 앞에 추가했다. 학생은 두 점의 좌표를 사용할 때도 x의 변화량과 y의 변화량을 따로 적었다.

• x의 변화량: 두 번째 x값−첫 번째 x값
• y의 변화량: 두 번째 y값−첫 번째 y값
• 기울기: y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 값

식이 아닌 표에서 조건을 다시 읽다

같은 개념을 숫자만 바꾸어 반복하지 않고, 이번에는 두 직선의 일부 좌표가 표로 주어졌다. 한 표에는 x가 0, 2일 때 y가 4, 10으로 나타났고, 다른 표에는 x가 -1, 2일 때 y가 1, 10으로 나타났다. 학생은 먼저 각 표에서 x와 y의 변화를 따로 계산했다. 첫 번째 표의 기울기는 (10-4)÷(2-0)=3, 두 번째 표의 기울기는 (10-1)÷(2-(-1))=3이었다.

질문은 “두 그래프가 평행한가?”가 아니라 “첫 번째 표와 평행한 그래프가 되도록 두 번째 표의 빠진 y값을 정하라”로 바뀌었다. 학생은 빠진 점을 그림의 높이로 추측하지 않고, 두 표의 기울기가 같아야 한다는 조건을 먼저 세웠다. 또 음수가 포함된 x의 변화량에서 2-(-1)을 괄호로 묶어 부호가 바뀌지 않았는지 확인했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝에 학생에게 새로운 문제가 주어졌다. y=-3x+5와 y=bx+1이 평행할 때 b를 구하고, 두 직선이 같은 직선인지 설명하는 문제였다. 학생은 그래프를 그리기 전에 “평행 여부는 절편이 아니라 기울기로 판단한다”고 먼저 적었다. 이어 첫 번째 식에서 기울기 -3을 찾고, 두 번째 식의 기울기 b와 비교하여 b=-3이라고 결정했다.

학생은 여기서 멈추지 않고 두 식의 절편이 각각 5와 1임을 확인했다. 기울기는 같지만 절편이 다르므로 같은 직선이 아니라 평행한 두 직선이라고 설명했다. 마지막으로 x=0을 두 식에 넣어 y값이 각각 5와 1로 달라지는지 검산했다. 과거처럼 그림 속 점을 먼저 단정하지 않고, 식에서 기울기를 읽은 뒤 필요한 좌표는 반드시 대입으로 확인하는 판단을 스스로 재현한 장면이었다.