동춘동 고2수학과외







몇 개의 항만 보고 방향을 정하면 생기는 오류
학생은 등차수열의 첫째항부터 세 항을 계산한 뒤, 항이 작아지는 것처럼 보인다는 이유로 공차의 부호를 음수라고 판단했다. 그러나 문자식이 포함된 문제에서는 일부 항보다 공차를 직접 확인해야 한다.
공차 부호가 증가·감소를 결정한다
등차수열의 일반항을 \(a_n=a_1+(n-1)d\)라고 하면
\[ a_{n+1}-a_n=d \]
이다. 따라서
- \(d>0\)이면 증가수열
- \(d=0\)이면 일정한 수열
- \(d<0\)이면 감소수열
첫 몇 항의 크기만 비교하지 말고, 인접한 두 항의 차가 언제나 같은 값이라는 점을 먼저 사용해야 한다.
문자 공차가 있는 경우의 조건
다음 수열을 보자.
\[ a_n=(2t-1)n+3 \]
인접한 항의 차를 계산하면
\[ \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &=(2t-1)(n+1)+3-\{(2t-1)n+3\}\\ &=2t-1 \end{aligned} \]
따라서 공차는 \(2t-1\)이고, 증가수열이 되려면
\[ 2t-1>0 \]
이어야 한다. 그러므로
\[ \boxed{t>\frac12} \]
부분 풀이의 올바른 완성
“이 수열이 증가수열이 되도록 하는 실수 \(t\)의 범위”를 묻는다면, 등호를 포함하지 않는 부등식으로 답해야 한다. \(t=\frac12\)일 때 공차는 0이므로 모든 항이 같아 증가수열이 아니다.
풀이 전후 비교와 적용
| 판단 방식 | 결과 |
|---|---|
| 일부 항의 모양만 관찰 | 매개변수에 따라 달라지는 방향을 놓칠 수 있음 |
| \(a_{n+1}-a_n\) 계산 | 공차 \(2t-1\)의 부호로 정확히 판단 |
동춘동과외에서 이 유형을 다룰 때도 먼저 일반항을 항끼리 빼서 공차를 찾고, 그 뒤 증가·감소 조건을 부등식으로 정리하면 풀이의 방향을 안정적으로 잡을 수 있다.
기호가 달라지면 낯설게 느껴질 때
같은 관계라도 문자의 이름이나 제시 순서가 바뀌면 새로운 문제처럼 보일 수 있습니다. 각 기호가 나타내는 대상을 먼저 적고 이전에 배운 표현과 대응시켜 보세요. 현재 단원의 기호를 외우는 데서 그치지 않고 역할을 이해했는지 확인할 수 있습니다.
중간 근거가 빠진 답안을 점검하기
고2 서술형을 준비할 때 답이 맞은 풀이에서 한 줄을 가려 보세요. 앞뒤 식만으로 그 단계가 왜 가능한지 설명되는지 확인하면 생략한 근거를 찾기 쉽습니다. 학교에서 제공한 답안 기준이 있다면 그 요구를 우선하여 필요한 설명을 보완해야 합니다.
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고등 수학
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고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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