연호지구 중3수학과외

연호지구 중3수학과외에서 살펴본 전개식의 구조

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나란히 놓인 두 식에서 빠진 항

프린트에는 다음 두 표현이 나란히 제시되어 있었습니다.

(x+4)²를 전개하여라.

(x+4)(x+4)를 계산하여라.

학생은 첫 번째 식 옆에 다음과 같이 적었습니다.

(x+4)² = x²+16

두 번째 식에는 괄호를 그대로 두었다가, “제곱은 앞 항과 뒤 항을 각각 제곱하면 된다”고 설명했습니다. 이어 다른 문제인 (2a+3)²에서는 4a²+9라고 적었습니다. 계산 과정에서 숫자를 제곱하는 일 자체는 맞았지만, 두 항이 서로 곱해지는 부분을 확인하지 않은 채 전개를 시작한 것이 핵심 문제였습니다.

이때 풀이 기록에서 가장 먼저 어긋난 판단은 최종 계산 결과가 아니라, (x+4)²를 x와 4 각각의 제곱으로만 읽은 것이었습니다. 제곱식은 같은 괄호를 두 번 곱한 표현이므로, 두 항이 한 번씩 선택되는 곱도 반드시 생깁니다.

괄호를 두 개로 바꾸어 확인하기

오류를 고칠 때 전개 공식만 외우도록 하지 않고, 학생이 처음 본 표현을 곱셈 형태로 바꾸어 한 줄씩 적게 했습니다.

(x+4)² = (x+4)(x+4)

= x·x + x·4 + 4·x + 4·4

= x² + 4x + 4x + 16

= x²+8x+16

이번 교정에서 바꾼 행동은 하나였습니다. 두 항을 각각 제곱하기 전에, 첫 번째 괄호의 각 항을 두 번째 괄호의 두 항과 빠짐없이 곱해 적는 것입니다. 이미 알고 있던 x·x=x², 4·4=16 계산은 그대로 두고, 빠졌던 x·4와 4·x만 보완했습니다.

같은 방식으로 학생은 (2a+3)²도 다음처럼 다시 썼습니다.

(2a+3)(2a+3)
= 2a·2a + 2a·3 + 3·2a + 3·3
= 4a²+6a+6a+9
= 4a²+12a+9

여기서 중요한 것은 가운데 항의 계수를 무작정 기억하는 것이 아니라, 서로 다른 두 항의 곱이 두 번 나타난다는 관계를 식 안에서 확인하는 일이었습니다.

모양이 바뀐 식에도 같은 관계 적용하기

며칠 뒤에는 앞의 문제와 숫자 배열이 다른 식을 제시했습니다.

(3y-2)²을 전개하고, 전개 전 식과 전개 후 식이 같은 값을 나타내는 이유를 식의 모양으로 설명하여라.

학생은 처음에 9y²-4라고 적으려다 멈추고, 마이너스 부호를 포함한 두 괄호를 먼저 만들었습니다.

(3y-2)² = (3y-2)(3y-2)

= 3y·3y + 3y·(-2) + (-2)·3y + (-2)·(-2)

= 9y²-6y-6y+4

= 9y²-12y+4

이번에는 항의 순서와 부호가 달라졌지만, 첫 항과 둘째 항의 곱을 양쪽 방향으로 한 번씩 적었습니다. 따라서 가운데 항은 음수 두 개가 합쳐져 -12y가 됩니다. 이는 단순히 이전 식의 숫자를 바꾼 반복이 아니라, 더하기 형태에서 부호가 포함된 항의 곱으로 표현을 전환한 사례입니다.

힌트 없이 진행한 마지막 확인

마지막에는 다음 문제만 남겨 두고 별도의 순서나 공식을 알려 주지 않았습니다.

(p+5q)²을 전개하고, p=1, q=2를 대입하여 전개 전후의 값을 비교하여라.

학생은 먼저 식의 구조를 스스로 바꾸었습니다.

(p+5q)(p+5q)
= p²+5pq+5pq+25q²
= p²+10pq+25q²

그다음 p=1, q=2를 대입해 전개 전 식을 계산했습니다.

(1+5×2)²=11²=121

전개한 식에도 같은 값을 넣었습니다.

1²+10×1×2+25×2²=1+20+100=121

학생은 “두 값이 같은 것은 가운데 항 5pq가 양쪽 곱에서 각각 한 번씩 생겼기 때문”이라고 설명했습니다. 숫자가 같다는 결과만 확인한 것이 아니라, 전개 전후의 표현이 같은 이유와 빠지기 쉬운 항의 위치까지 스스로 검증한 것입니다.