두산동 중3수학과외

두산동 중3수학과외, 제곱근의 크기를 읽기 전에

두산동과외 수업에서 학교 프린트를 다시 풀던 중, 한 학생이 다음 문제에 밑줄을 그어 가져왔습니다.

√52와 7.3 중 더 큰 수를 고르시오.

학생의 답안에는 처음부터 다음과 같이 적혀 있었습니다.

√52 = 5.2이므로 7.3이 더 크다.

겉으로는 짧고 빠른 풀이였지만, 계산 결과를 고치는 것보다 먼저 살펴볼 부분이 있었습니다. 두산동중3수학과외에서는 이처럼 제곱근을 소수처럼 읽어 계산하기 전에, 피근수가 어느 두 제곱수 사이에 있는지 표시하는 과정을 먼저 확인합니다. 캐슬골드파크와 대구광역시립수성도서관이 있는 생활권에서 중3 수학을 공부할 때도 문제의 숫자를 바로 소수로 바꾸기보다, 제곱근의 크기를 판단하는 기준을 세우는 것이 핵심입니다.

첫 식보다 앞에 있었던 판단

학생은 52를 보고 √52를 5.2로 읽었습니다. 그러나 5.2²은 27.04이므로 √52와 같을 수 없습니다. 중요한 점은 뒤의 비교 계산이 아니라, 피근수 52를 제곱근의 값처럼 그대로 읽은 순간 이미 판단이 어긋났다는 것입니다.

수업에서는 답안의 첫 줄을 지우고, 문제의 숫자 52 아래에 다음처럼 표시하게 했습니다.

7² = 49,　8² = 64　→　49 < 52 < 64

따라서 양의 제곱근의 크기를 비교하면

7 < √52 < 8

이제 7.3과 비교하려면 범위를 더 좁혀야 합니다. 7.2² = 51.84, 7.3² = 53.29이므로

51.84 < 52 < 53.29

에서 √52는 7.2와 7.3 사이에 있습니다. 실제로 52는 51.84에 더 가까우므로 √52는 약 7.21 정도이고, 따라서 7.3보다 작습니다. 학생이 뒤에서 적었던 “7.3이 더 크다”는 결론은 맞았지만, 처음의 이유인 “√52 = 5.2”는 틀린 판단이었습니다.

고친 것은 한 가지 표시뿐

이번 교정에서는 근삿값을 무작정 외우거나 풀이 순서를 전부 바꾸지 않았습니다. 잘못된 첫 식만 다음 행동으로 바꾸었습니다.

√52를 소수 5.2로 읽지 않는다.
52와 가까운 이웃한 제곱수 49, 64를 먼저 찾는다.
필요할 때 7.2²과 7.3²을 계산해 범위를 좁힌다.

이렇게 기준을 바꾸자 학생은 이미 맞게 판단했던 “7.3이 더 크다”는 결론을 그대로 유지하면서, 그 결론에 도달한 근거만 올바르게 고쳤습니다. 제곱근의 근삿값으로 크기를 비교할 때는 소수점을 보고 피근수를 읽는 것이 아니라, 제곱했을 때 원래 수를 사이에 두는 수를 찾는 것이 출발점입니다.

표현이 달라진 새 문제

다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 질문의 모양을 바꾸었습니다.

수직선에서 √75가 놓일 위치를 8.6과 8.7 중 어느 쪽에 가깝다고 판단할 수 있는가?

학생은 먼저 8² = 64, 9² = 81을 적어

64 < 75 < 81　→　8 < √75 < 9

라고 범위를 잡았습니다. 이어 8.6² = 73.96, 8.7² = 75.69를 계산해

73.96 < 75 < 75.69

를 확인했습니다. 그러므로 √75는 8.6과 8.7 사이에 있고, 75가 73.96에 더 가까우므로 √75는 8.6 쪽에 가깝다고 설명했습니다. 이번에는 ‘어느 수가 더 큰가’가 아니라 수직선에서 어느 위치에 가까운지를 묻고, 비교 대상도 두 소수로 제시했지만, 사용한 기준은 이웃한 제곱수로 제곱근의 범위를 좁히는 것 하나였습니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

마지막에는 풀이 방향이나 이웃한 제곱수를 미리 알려주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

√31과 5.5 중 더 큰 수를 고르고, 근삿값을 이용해 이유를 설명하시오.

학생은 곧바로 “5² = 25, 6² = 36이므로 5 < √31 < 6”이라고 적었습니다. 이어 5.5² = 30.25를 계산하고, 30.25 < 31이므로 5.5 < √31이라고 설명했습니다. 마지막으로 5.56² = 30.9136, 5.57² = 31.0249를 확인하여

5.56 < √31 < 5.57

이라고 범위를 좁혔습니다. 학생은 “√31은 약 5.568이므로 5.5보다 크다. 5.57을 제곱한 값은 31보다 조금 크고, 5.56을 제곱한 값은 31보다 작아서 이 근삿값의 위치도 확인된다.”라고 말했습니다. 힌트 없이도 먼저 이웃한 제곱수를 찾고, 마지막에는 근삿값을 제곱해 원래 수의 양쪽에 놓이는지 검산한 것입니다.

두산동 중3수학과외 학부모 후기

모의고사를 본 날 밤, 식탁 위 시험지를 정리하다가 한쪽에 숫자들이 따로 적혀 있는 걸 보게 됐어요. 처음엔 틀린 문제를 표시한 건가 했는데, 자세히 보니 마지막에 검산할 문제 번호만 모아 둔 거더라고요. 두산동 수학과외 이야기를 나누며 살펴보던 때에도 이런 식으로 특정 문제를 따로 남겨 둔 적은 없었거든요. 전에는 다시 확인할 부분이 생겨도 어디였는지 표시하지 않아 시험지를 처음부터 다시 찾아보곤 했어요. 그런데 이번에는 검산할 문제를 미리 추려 놓고, 나중에 볼 곳이 한눈에 보이게 정리해 두었습니다. 학교 수학 숙제를 하던 날에도 같은 방식이 눈에 띄었어요. 풀이를 마친 뒤 검산할 문제 번호를 따로 모아 두고, 다시 확인할 위치가 드러나도록 자료 순서까지 정리해 놓았더라고요. ━

★★★★★학부모 후기

해설지와 자기 풀이를 펼쳐 놓고 두 줄을 번갈아 보던 모습이 눈에 띄었어요. 시험이 있는 날도 아니고, 평일 밤에 다음 수업을 준비하던 중이었는데 그냥 지나치지 않더라고요. 두산동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 장면을 직접 보게 될 줄은 몰랐습니다. 예전에는 문제를 다 풀고 나면 그날 어떤 식으로 판단했는지 다시 살피는 일이 없었거든요. 그런데 이번에는 답이 맞는지만 보는 게 아니라, 해설과 자기 풀이가 처음 갈라지는 부분을 찾아 한 줄씩 대조하고 있더라고요. 마지막에도 풀이 전체를 다시 뒤적이지 않고, 다음에 확인할 위치를 남겨 둔 채 책상을 정리했습니다.

★★★★★학부모 후기

출력해 둔 수업 자료를 치우려다가 아이가 한 문제 앞에서 손을 멈췄어요. 계산 과정이 꽤 길어서 처음부터 다시 적을 줄 알았는데, 이미 써 놓은 식은 그대로 두고 틀린 흔적이 보이는 부분 바로 앞에 연필을 대더라고요. 어디서부터 살펴볼지 정한 뒤 이어서 계산하는 모습이었습니다. 두산동 수학과외 이야기를 나누기 전만 해도 다시 확인할 때 풀이 전체를 처음부터 끝까지 훑는 편이었거든요. 어느 부분이 중요한지 따로 가리지 않고 비슷하게 들여다보곤 했는데, 그날에는 앞쪽 계산을 건드리지 않고 필요한 지점만 골라 다시 풀고 있더라고요. 교재를 가방에 넣기 직전에도 같은 식으로 오류가 생긴 바로 앞 단계부터 손을 움직였습니다. 긴 풀이를 전부 되짚기보다 확인할 곳을 좁혀 놓고 마무리하는 모습이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

두산동 쪽 학원 일정까지 겹쳐 귀가가 늦은 날에도 아이가 책상에 앉는 모습을 보며 조금 달라졌다고 느꼈습니다. 예전에는 숙제 양이 많으면 미루기부터 했지만, 선생님이 할 일을 짧게 나누고 모르는 문제도 편하게 묻게 해 주셔서 부담이 줄었습니다. 시험기간에 계획이 밀려도 함께 다시 조정하며 이어가는 모습이 성적보다 먼저 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

두산동에서 수학 수업을 시작한 뒤, 시험이 끝나면 아이가 먼저 이번 주에 무엇을 공부했는지 이야기하고 다음 계획도 함께 세우게 됐습니다. 어려운 문제 하나에 오래 붙잡히던 아이에게 선생님은 부담이 적은 문제를 중간에 섞어 주고, 숙제와 복습도 무리하지 않도록 조절해 주셨습니다. 시험기간에도 스스로 해냈다는 표정으로 수업을 마치는 날이 늘어 성적보다 반가운 변화를 느꼈습니다.

★★★★☆학부모 후기

두산동에서 과외를 시작할 때만 해도 선생님과 마주 앉으면 긴장해서 모르는 문제를 그냥 넘기곤 했습니다. 다만 숙제하다 막힌 부분을 틀렸다고 바로 지적하기보다 어디서 생각이 달라졌는지 차분히 물어봐 주셔서, 수업 중에도 편하게 질문하게 됐습니다. 요즘은 집에서 먼저 궁금했던 내용을 이야기하고 틀린 문제도 한 번 더 살펴봅니다.

★★★★☆학부모 후기