두산동 중3수학과외

두산동 중3수학과외, 제곱근의 크기를 읽기 전에

두산동과외 수업에서 학교 프린트를 다시 풀던 중, 한 학생이 다음 문제에 밑줄을 그어 가져왔습니다.

√52와 7.3 중 더 큰 수를 고르시오.

학생의 답안에는 처음부터 다음과 같이 적혀 있었습니다.

√52 = 5.2이므로 7.3이 더 크다.

겉으로는 짧고 빠른 풀이였지만, 계산 결과를 고치는 것보다 먼저 살펴볼 부분이 있었습니다. 두산동중3수학과외에서는 이처럼 제곱근을 소수처럼 읽어 계산하기 전에, 피근수가 어느 두 제곱수 사이에 있는지 표시하는 과정을 먼저 확인합니다.

첫 식보다 앞에 있었던 판단

학생은 52를 보고 √52를 5.2로 읽었습니다. 그러나 5.2²은 27.04이므로 √52와 같을 수 없습니다. 중요한 점은 뒤의 비교 계산이 아니라, 피근수 52를 제곱근의 값처럼 그대로 읽은 순간 이미 판단이 어긋났다는 것입니다.

수업에서는 답안의 첫 줄을 지우고, 문제의 숫자 52 아래에 다음처럼 표시하게 했습니다.

7² = 49,　8² = 64　→　49 < 52 < 64

따라서 양의 제곱근의 크기를 비교하면

7 < √52 < 8

이제 7.3과 비교하려면 범위를 더 좁혀야 합니다. 7.2² = 51.84, 7.3² = 53.29이므로

51.84 < 52 < 53.29

에서 √52는 7.2와 7.3 사이에 있습니다. 실제로 52는 51.84에 더 가까우므로 √52는 약 7.21 정도이고, 따라서 7.3보다 작습니다. 학생이 뒤에서 적었던 “7.3이 더 크다”는 결론은 맞았지만, 처음의 이유인 “√52 = 5.2”는 틀린 판단이었습니다.

고친 것은 한 가지 표시뿐

이번 교정에서는 근삿값을 무작정 외우거나 풀이 순서를 전부 바꾸지 않았습니다. 잘못된 첫 식만 다음 행동으로 바꾸었습니다.

• √52를 소수 5.2로 읽지 않는다.
• 52와 가까운 이웃한 제곱수 49, 64를 먼저 찾는다.
• 필요할 때 7.2²과 7.3²을 계산해 범위를 좁힌다.

이렇게 기준을 바꾸자 학생은 이미 맞게 판단했던 “7.3이 더 크다”는 결론을 그대로 유지하면서, 그 결론에 도달한 근거만 올바르게 고쳤습니다. 제곱근의 근삿값으로 크기를 비교할 때는 소수점을 보고 피근수를 읽는 것이 아니라, 제곱했을 때 원래 수를 사이에 두는 수를 찾는 것이 출발점입니다.

표현이 달라진 새 문제

다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 질문의 모양을 바꾸었습니다.

수직선에서 √75가 놓일 위치를 8.6과 8.7 중 어느 쪽에 가깝다고 판단할 수 있는가?

학생은 먼저 8² = 64, 9² = 81을 적어

64 < 75 < 81　→　8 < √75 < 9

라고 범위를 잡았습니다. 이어 8.6² = 73.96, 8.7² = 75.69를 계산해

73.96 < 75 < 75.69

를 확인했습니다. 그러므로 √75는 8.6과 8.7 사이에 있고, 75가 73.96에 더 가까우므로 √75는 8.6 쪽에 가깝다고 설명했습니다. 이번에는 ‘어느 수가 더 큰가’가 아니라 수직선에서 어느 위치에 가까운지를 묻고, 비교 대상도 두 소수로 제시했지만, 사용한 기준은 이웃한 제곱수로 제곱근의 범위를 좁히는 것 하나였습니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

마지막에는 풀이 방향이나 이웃한 제곱수를 미리 알려주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

√31과 5.5 중 더 큰 수를 고르고, 근삿값을 이용해 이유를 설명하시오.

학생은 곧바로 “5² = 25, 6² = 36이므로 5 < √31 < 6”이라고 적었습니다. 이어 5.5² = 30.25를 계산하고, 30.25 < 31이므로 5.5 < √31이라고 설명했습니다. 마지막으로 5.56² = 30.9136, 5.57² = 31.0249를 확인하여

5.56 < √31 < 5.57

이라고 범위를 좁혔습니다. 학생은 “√31은 약 5.568이므로 5.5보다 크다. 5.57을 제곱한 값은 31보다 조금 크고, 5.56을 제곱한 값은 31보다 작아서 이 근삿값의 위치도 확인된다.”라고 말했습니다. 힌트 없이도 먼저 이웃한 제곱수를 찾고, 마지막에는 근삿값을 제곱해 원래 수의 양쪽에 놓이는지 검산한 것입니다.