대구중동 고3수학과외

로그의 비교보다 먼저 확인한 해의 출입 조건

대구광역시립수성도서관에서 풀이를 정리하던 학생의 노트에는 처음부터 계산 흔적이 길게 이어져 있었다. 문제는 log₂(x-1) > log₂(5-x)였고, 학생은 두 진수를 비교해 x-1 > 5-x, 따라서 x > 3이라고 적었다. 계산 자체는 자연스러웠지만, 이 결론에는 x가 실제로 로그 안에 들어갈 수 있는지 확인한 흔적이 없었다.

답을 거꾸로 추적해 발견한 누락

학생에게 “x=6도 이 해에 포함되는가?”라고 묻자, 식을 다시 대입한 뒤 log₂(5-x)=log₂(-1)이 되어 정의되지 않는다는 점을 확인했다. 최초의 잘못은 부등호 방향이 아니라, 비교식을 세우기 전에 진수의 허용 범위를 적지 않은 것이었다.

풀이의 첫 줄에 다음 두 조건을 따로 표시하게 했다.

• x-1 > 0에서 x > 1
• 5-x > 0에서 x < 5

그 뒤에야 밑이 2로 1보다 크므로 진수의 대소를 그대로 비교했다. x-1 > 5-x에서 x > 3을 얻고, 마지막에 정의조건과 교집합을 취하면 해는 3 < x < 5가 된다. 빠진 조건만 첫 줄에 복원했을 뿐, 이미 맞게 진행한 계산을 처음부터 다시 하지는 않았다. 이것이 대구중동과외 수업에서 확인한 이 학생의 중요한 변화였다.

조건의 위치를 바꾼 변형

같은 숫자만 바꾸는 대신, 로그식의 배치와 질문 방식을 바꾸었다. 새 문제는

log₃(2x+1) ≤ log₃(7-x)의 해 중 정수의 개수를 구하는 것이었다.

학생은 곧바로 부등식을 풀지 않고 진수조건을 먼저 적었다. 2x+1>0에서 x>-1/2, 7-x>0에서 x<7이다. 밑 3은 1보다 크므로 2x+1≤7-x, 즉 x≤2이다. 따라서 전체 해는 -1/2<x≤2이고, 그중 정수는 0, 1, 2로 세 개라고 설명했다.

이번에는 선택지가 없는 서술형으로 바꾸어 “사용하지 않은 정보와 반드시 사용한 조건을 구분하라”고 했다. 학생은 x<7을 단순히 적어 두는 데서 멈추지 않고, 최종 해 x≤2와 교집합을 이루는 조건이라고 표시했다. 반대로 밑이 1보다 작은 경우처럼 부등호 방향을 바꾸어야 하는 상황과 진수조건은 서로 다른 판단이라고 구분했다. 로그의 밑을 근거로 방향을 정하고, 진수조건은 해의 출입을 제한하는 별도 장치로 기록한 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

마지막에는 그래프의 일부와 식만 제시했다.

log_1/2(x+2) > log_1/2(4-x)

학생은 먼저 x+2>0, 4-x>0을 적어 -2<x<4를 만들었다. 이어 밑이 0과 1 사이이므로 비교할 때 부등호가 반대가 된다고 스스로 설명하여 x+2<4-x, 즉 x<1을 얻었다. 최종 해를 -2<x<1로 정리한 뒤, 경계 x=-2와 x=1을 원래 식에 넣어 로그의 진수와 등호 가능 여부를 각각 확인했다.

처음에는 결과가 그럴듯하면 허용 범위까지 자동으로 따라온다고 생각했지만, 이제는 결론에서 거꾸로 올라가 진수조건을 점검한다. 대구고3수학과외에서 다른 표현의 문제를 다룰 때에도 첫 식의 근거, 밑에 따른 방향, 해구간과 정의조건의 교집합을 순서대로 설명했다. 조건을 계산 뒤에 덧붙이는 습관이 아니라, 계산이 시작되기 전에 해의 무대를 먼저 정하는 판단이 남았는지를 최종적으로 확인했다.