사창동 중2수학과외

두 단계 선택을 표로 다시 읽는 중2 확률 수업

사창동과외 수업에서 학생은 두 단계로 물건을 고르는 문제를 풀었다. 문제는 색이 다른 상자에서 하나씩 선택하는 상황을 문장으로 설명하고 있었고, 보기나 완성된 표는 제시되지 않았다. 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 그리고 산남중학교와 원평중학교 등이 포함된 지역에서 자주 접하는 생활 속 선택 상황처럼 보였지만, 수업의 중심은 장소가 아니라 곱의 법칙으로 전체 경우와 원하는 경우를 세는 판단이었다.

답보다 먼저 어긋난 한 줄

학생은 첫 번째 단계에서 고를 수 있는 물건을 세어 3이라고 적고, 두 번째 단계에서는 조건에 맞는 물건만 세어 2라고 표시했다. 여기까지는 각 단계의 선택 수를 확인한 과정이었다. 그런데 전체 경우를 계산하는 줄에서 두 번째 단계의 2를 그대로 사용하지 않고, 문제에서 처음 언급된 물건 수 4를 가져와 3+4라고 적었다.

학생은 “첫 번째와 두 번째에서 나오는 수를 합치면 전체가 된다”고 설명했다. 아직 최종 답을 낸 뒤의 실수가 아니라, 두 단계를 함께 선택하는 상황을 합으로 처리하기로 한 순간이 최초의 어긋난 판단이었다. 그 결과 원하는 경우를 전체 경우로 나누려던 다음 과정도 자연스럽게 흔들릴 수밖에 없었다.

한 번의 선택 뒤에 또 한 번 선택하는 경우에는 첫 단계의 선택 하나마다 두 번째 단계의 선택이 이어진다. 따라서 전체 짝의 수는 두 선택 수를 곱해 세고, 합은 어느 한 단계만 고르는 경우에 사용한다.

표로 바꾸어 관계를 눈으로 확인하다

교사는 이미 맞게 세어 둔 각 단계의 선택 수는 그대로 두고, 전체 경우를 표로 옮기게 했다. 첫 번째 단계의 세 선택을 표의 세 행에 적고, 각 행마다 두 번째 단계의 네 선택을 차례로 배치했다. 학생은 첫 행에 4개, 둘째 행에 4개, 셋째 행에 4개가 생기는 것을 직접 표시했다. 이어서 “3개의 행에 4개씩 있으므로 4+4+4이고, 이것은 3×4와 같다”고 말하며 전체 경우가 12임을 고쳤다.

원하는 경우를 셀 때도 막연히 숫자를 더하지 않았다. 조건에 맞는 두 번째 선택이 각 첫 번째 선택마다 2개씩 이어지는지 표의 칸에 동그라미를 쳤다. 세 행마다 동그라미가 2개씩 있어 원하는 경우는 3×2=6이라고 적었다. 그래서 확률은 원하는 경우 6을 전체 경우 12로 나눈 값으로 정리했다. 교사는 계산 결과보다 먼저 “전체를 어떻게 나누어 만들었는가”를 설명하게 했고, 학생은 전체는 모든 칸, 원하는 경우는 조건에 맞는 칸이라고 구분했다.

문장을 표와 나무그림으로 바꾼 독립 적용

같은 관계를 확인하기 위해 이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾸었다. 두 종류의 음료와 세 종류의 간식을 한 가지씩 고르는 상황을 표 없이 제시하고, “간식이 특정 종류인 선택”의 확률을 구하게 했다. 학생은 곧바로 음료를 행으로, 간식을 열로 두겠다고 말한 뒤 2×3의 여섯 칸을 그렸다.

이번에는 전체 경우를 먼저 합으로 세지 않고, “음료 하나가 정해질 때마다 간식 세 가지가 연결된다”고 설명했다. 특정 간식에 해당하는 칸은 음료 두 종류와 연결되므로 원하는 경우는 2개, 전체 경우는 6개라고 적었다. 이어 같은 상황을 나무그림으로 다시 나타내면서 첫 갈림 뒤 두 번째 갈림이 세 개씩 생긴다는 점을 확인했다. 표와 나무그림의 모양은 달랐지만, 각 첫 선택에 같은 수의 두 번째 선택이 붙는다는 관계는 같았다.

조건의 순서도 바꾸었다. 이번에는 “간식을 먼저 고르고, 그다음 음료를 고른다”고 읽게 했다. 학생은 순서가 바뀌어도 간식 3가지 각각에 음료 2가지가 연결되므로 전체 경우는 3×2=6이라고 적었다. 원하는 조건이 특정 음료라면 간식 3가지와 연결되어 원하는 경우는 3개라고 설명했다. 앞의 문제와 답의 모양이 달라져도 전체 경우와 조건에 맞는 경우를 따로 세는 판단은 유지되었다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

수업 후반에는 처음 보는 표현으로 “두 개의 주머니에서 각각 한 장씩 카드를 꺼낼 때, 적어도 한 장이 표시 카드일 확률”을 제시했다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 각 주머니의 카드 수를 세어 전체 선택을 두 단계의 곱으로 나타내겠다고 말했다. 이어 ‘적어도 한 장’의 경우를 직접 나열하는 대신, 반대인 ‘두 장 모두 표시가 아닌 경우’를 세어 전체에서 빼겠다고 설명했다.

학생은 전체 경우를 표로 만들고, 표시가 아닌 카드끼리 만나는 칸을 따로 묶었다. 전체 확률에서 그 묶음의 확률을 빼어 원하는 확률을 구한 뒤, 두 사건의 확률을 더해 1이 되는지 확인했다. “전체와 반대 경우가 겹치지 않고 모두 채우므로 합이 1이어야 한다”고 검산 근거도 스스로 말했다. 사창동중2수학과외에서 확인한 변화는 답을 외운 것이 아니라, 문장·표·나무그림이 바뀌어도 두 단계 선택을 곱으로 세고 원하는 경우를 따로 대응시키는 첫 판단을 혼자 세운 데 있었다.