사창동 고2수학과외







빠진 구간을 먼저 찾아보는 삼각부등식
청주중앙여자고등학교 학생의 풀이 기록에는 다음 답이 적혀 있었다.
문제: \(0\le x\le 6\pi\)에서 \(\sin x\ge \frac12\)를 만족하는 \(x\)의 범위를 구하여라.
학생의 답: \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\le x\le \frac{5\pi}{6}\)
이 답은 첫 번째 구간만 정확히 구한 결과다. 역으로 \(x=\frac{5\pi}{2}\)를 대입하면 \(\sin\frac{5\pi}{2}=1\)이므로 조건을 만족하지만, 학생의 답에는 포함되지 않는다. 이처럼 최종 검증에서 누락된 반복 구간을 먼저 확인하면 최초 오류가 드러난다.
한 주기에서 해를 완성하기
\(\sin x\)의 주기는 \(2\pi\)이다. \(0\le x<2\pi\)에서
\[ \sin x\ge \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{6}\le x\le \frac{5\pi}{6} \]
이다. 따라서 한 주기의 해를 구한 뒤 \(2\pi\)씩 이동해야 한다.
세 주기로 확장하기
주어진 범위는 \(0\le x\le6\pi\)이므로 세 주기를 포함한다.
\[ \left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right] \]
각 구간은 앞의 해 구간에 각각 \(2\pi\), \(4\pi\)를 더해 얻는다. \(x=6\pi\)에서는 \(\sin x=0\)이므로 끝점을 추가하지 않는다.
교정된 풀이의 확인
반복 규칙으로 다시 검산하기
일반적으로 한 주기의 해를 \([a,b]\)라 하면 주기 \(2\pi\)에 의해 \([a+2k\pi,b+2k\pi]\)도 해가 된다. 여기서는 \(a=\frac{\pi}{6}\), \(b=\frac{5\pi}{6}\), \(k=0,1,2\)를 적용했다.
따라서 최종 답은
\[ \boxed{ x\in \left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right] } \]
이다. 사창동과외에서는 이처럼 한 주기의 해를 구한 뒤 정의역의 전체 범위만큼 반복되었는지 역대입으로 확인하는 습관을 강조할 수 있다.