LearnMap

사창동 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

빠진 구간을 먼저 찾아보는 삼각부등식

청주중앙여자고등학교 학생의 풀이 기록에는 다음 답이 적혀 있었다.

문제: \(0\le x\le 6\pi\)에서 \(\sin x\ge \frac12\)를 만족하는 \(x\)의 범위를 구하여라.

학생의 답: \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\le x\le \frac{5\pi}{6}\)

이 답은 첫 번째 구간만 정확히 구한 결과다. 역으로 \(x=\frac{5\pi}{2}\)를 대입하면 \(\sin\frac{5\pi}{2}=1\)이므로 조건을 만족하지만, 학생의 답에는 포함되지 않는다. 이처럼 최종 검증에서 누락된 반복 구간을 먼저 확인하면 최초 오류가 드러난다.

한 주기에서 해를 완성하기

\(\sin x\)의 주기는 \(2\pi\)이다. \(0\le x<2\pi\)에서

\[ \sin x\ge \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{6}\le x\le \frac{5\pi}{6} \]

이다. 따라서 한 주기의 해를 구한 뒤 \(2\pi\)씩 이동해야 한다.

세 주기로 확장하기

주어진 범위는 \(0\le x\le6\pi\)이므로 세 주기를 포함한다.

\[ \left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right] \]

각 구간은 앞의 해 구간에 각각 \(2\pi\), \(4\pi\)를 더해 얻는다. \(x=6\pi\)에서는 \(\sin x=0\)이므로 끝점을 추가하지 않는다.

교정된 풀이의 확인

반복 규칙으로 다시 검산하기

일반적으로 한 주기의 해를 \([a,b]\)라 하면 주기 \(2\pi\)에 의해 \([a+2k\pi,b+2k\pi]\)도 해가 된다. 여기서는 \(a=\frac{\pi}{6}\), \(b=\frac{5\pi}{6}\), \(k=0,1,2\)를 적용했다.

따라서 최종 답은

\[ \boxed{ x\in \left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right] } \]

이다. 사창동과외에서는 이처럼 한 주기의 해를 구한 뒤 정의역의 전체 범위만큼 반복되었는지 역대입으로 확인하는 습관을 강조할 수 있다.

사창동 고2수학과외 학부모 후기

문제집을 펼쳐 보니 여백 군데군데에 아주 작은 표시가 있더라고요. 답을 틀린 문제마다 크게 적어 둔 게 아니라, 계산이 꼬이기 시작한 자리만 콕 집어서 남겨 놓았어요. 오답이 몰려 있던 단원을 다시 살펴보던 날이라 더 눈에 띄었습니다. 예전에는 막힌 문제를 만나도 따로 흔적을 남겨 두지 않고 그냥 다음 장으로 넘어가곤 했거든요. 그런데 이번에는 어디서부터 계산이 어긋났는지 먼저 찾아 표시해 두었어요. 사창동 수학과외 관련해서 알아보던 중에도 이런 부분을 유심히 봤는데, 공부한 내용을 말로 설명하기보다 문제집에 남은 표시가 먼저 보였습니다. 수업 전 질문할 내용을 확인할 때도 비슷했어요. 이미 점검한 문제에서 계산 실수가 시작된 지점에 작은 표시가 그대로 남아 있더라고요. 같은 문제를 다시 펼쳤을 때, 눈에 들어온 건 답보다 그 짧은 흔적이었습니다.

★★★★☆학부모 후기

문제집을 넘기다 보니 아이가 오답이 몰려 있던 단원을 다시 펼쳐 놓고 함수 그래프를 그리고 있더라고요. 식만 바라보는 게 아니라 그래프를 옆에 두고, 식에 들어 있는 조건과 그림이 같은 내용을 나타내는지 잠시 맞춰 보고 있더라고요. 예예전에는 막히는 부분이 나와도 따로 표시하지 않고 다음 문제로 넘어가곤 했거든요. 사창동 수학과외라는 말을 꺼내게 된 것도 이런 모습을 집에서 보면서였어요. 수업 전 질문할 부분을 살피던 때에는 전에 확인했던 곳에 남겨 둔 표시를 먼저 찾아보고, 그 자리의 함수식과 그래프를 다시 나란히 비교했습니다. 어디가 헷갈렸는지 흔적이 남아 있으니 식과 그림을 번갈아 보며 확인하는 과정도 눈에 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

시험을 앞두면 갑자기 공부량을 늘리고 자기 풀이를 설명하기 어려워하던 아이가 사창동 수학과외를 시작했습니다. 선생님은 진도를 잠시 멈추고 틀린 이유부터 함께 살핀 뒤, 그날 할 일과 다음 복습 시점을 나누어 안내해 주셨습니다. 복습을 미루는 날에도 다음 날 다시 이어가는 모습이 늘어 부모로서 조금 안심이 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

사창동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 수업이 끝나면 그날 배운 내용을 다시 살펴보는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 집중이 끊기면 쉬운 문제도 대충 넘겼는데, 선생님이 틀린 문제를 같이 확인하고 숙제량도 부담 없는 만큼 조절해 주셔서 조금씩 스스로 복습하려 합니다. 방학 첫 주 계획을 세울 때도 부모와 진행 상황을 세심하게 공유해 주셔서 안심됐습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 저녁, 아이가 사창동 수학과외 선생님께 물어볼 내용을 스스로 정리하는 모습이 보여 기억에 남았습니다. 완벽하게 하려다 틀린 문제를 급히 지우던 아이에게 선생님은 할 수 있는 문제부터 풀게 하고, 정답보다 풀이를 이해했는지 차분히 확인해 주셨습니다. 요즘은 답이 틀려도 바로 포기하지 않고 한 번 더 살펴보는 등 공부를 대하는 마음이 조금 편해졌습니다.

★★★★☆학부모 후기