분평동 중2수학과외

분평동 중2수학과외에서 확인한 확률 풀이의 첫 기준

분평동과외 수업에서 학생은 두 단계로 이루어진 확률 문제를 풀다가 계산 결과보다 앞선 판단에서 멈췄습니다. 문제에는 “상자에서 공을 한 개 뽑고, 다시 넣은 뒤 한 개를 더 뽑는다”는 조건과 여러 색 공의 개수가 제시되어 있었습니다.

학생은 문제에서 ‘첫 번째 뽑기’와 ‘두 번째 뽑기’에 밑줄을 긋고, 각 단계에서 가능한 공의 수를 옆에 적었습니다. 빨간 공을 뽑는 경우를 구하는 대목에서는 첫 번째 단계의 원하는 경우와 전체 경우를 구분해 표시했고, 두 번째 단계도 같은 방식으로 정리하려 했습니다. 그러나 중간에 전체 경우를 분자에, 빨간 공이 나오는 경우를 분모에 적은 뒤 그 값을 곱하려고 했습니다.

“두 번 뽑으니까 각각의 수를 곱하면 되는데, 어느 수를 위에 써야 하는지는 계산하면서 정하면 되죠?”

계산보다 먼저 뒤바뀐 한 줄

풀이가 어긋난 최초의 선택은 곱셈을 한 것 자체가 아니었습니다. 학생이 각 단계에서 전체 경우와 원하는 경우의 위치를 정하지 않은 채 분수를 만들기 시작한 것이 문제였습니다. 그래서 첫 번째 뽑기에서 전체 공의 수를 분자로 적고, 빨간 공의 수를 분모로 적었습니다. 이후 두 번째 단계의 분수도 같은 방향으로 적으면서 결과가 1보다 커졌지만, 학생은 곱셈 계산만 다시 확인했습니다.

교사는 이미 학생이 한 ‘단계별로 나누어 곱한다’는 과정은 그대로 두고, 분수를 만드는 한 가지 기준만 바꾸도록 했습니다. 각 단계의 식 옆에 작은 표시를 붙여 원하는 경우는 위, 전체 경우는 아래라고 적은 뒤, 첫 번째 단계의 분모부터 다시 확인하게 했습니다. 첫 번째 단계에서 전체 공 6개 중 빨간 공 2개라면 확률은 2/6이고, 공을 다시 넣은 뒤 두 번째 단계도 빨간 공 2개 중 전체 6개이므로 2/6입니다. 따라서 원하는 사건의 확률은 2/6×2/6으로 나타납니다.

• 첫 번째 단계: 원하는 결과와 전체 결과를 따로 표시한다.
• 두 번째 단계: 앞 단계와 같은 기준으로 다시 확인한다.
• 두 확률을 곱한 뒤 결과가 0과 1 사이인지 살핀다.

학생은 자신의 처음 식에서 분자와 분모를 바꾸자 값이 1보다 커졌던 이유도 설명했습니다. “전체 경우가 원하는 경우보다 많으니까 전체를 위에 쓰면 확률이 1보다 커질 수 있어요.” 이미 맞게 사용한 ‘단계별 곱셈’은 유지하고, 분수의 위아래를 정하는 판단만 바로잡은 장면이었습니다.

문장을 표로 바꾸어 다시 고른 기준

다음 문제는 숫자를 단순히 바꾼 문제가 아니었습니다. 두 개의 봉투에 각각 카드가 들어 있고, 첫 번째 봉투에서 파란 카드를 뽑은 뒤 두 번째 봉투에서 숫자 카드가 아닌 그림 카드를 뽑는 상황을 문장으로 제시했습니다. 학생은 먼저 표를 그려 ‘첫 번째 조건’과 ‘두 번째 조건’을 나누었습니다. 이번에는 문제에 등장한 순서가 아니라 질문이 요구하는 사건을 기준으로 각 칸에 ‘원하는 경우’와 ‘전체 경우’를 적었습니다.

첫 번째 봉투의 카드 5장 중 파란 카드 2장, 두 번째 봉투의 카드 4장 중 그림 카드 1장이라면 학생은 2/5×1/4라고 썼습니다. 교사가 “이번에는 첫 번째 봉투에서 파란 카드가 나오지 않을 확률을 구하라”고 질문을 바꾸자, 학생은 파란 카드가 아닌 카드가 3장이므로 3/5를 먼저 적었습니다. 이어 두 번째 조건까지 포함한 사건인지, 첫 번째 조건만 묻는지 질문 문장을 다시 읽고 식을 멈춰 세웠습니다.

힌트 없이 확인한 여사건

분평동중2수학과외 수업의 독립 문제에서는 도움을 주지 않고, “두 번의 뽑기에서 적어도 한 번은 빨간 공이 나오는 확률”을 구하게 했습니다. 학생은 곧바로 원하는 경우를 직접 나누지 않고, 반대 사건인 ‘두 번 모두 빨간 공이 나오지 않는 경우’를 먼저 선택했습니다. 빨간 공이 아닌 공의 확률을 각 단계에서 4/6으로 적고, 두 단계의 곱을 구한 뒤 1에서 빼서 답을 정리했습니다.

학생은 마지막 줄에 적어도 한 번 빨간 공과 두 번 모두 빨간 공이 나오지 않음이 서로 반대되는 사건이라고 썼습니다. 이어 두 확률을 더하면 1이 되는지 확인했고, 계산한 값과 여사건의 값의 합이 1임을 직접 검산했습니다. 원평중학교와 남성중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 서술형 표현처럼 조건의 순서가 달라져도, 학생은 이제 계산 전에 전체 경우와 원하는 경우를 먼저 가르고 그 기준을 설명한 뒤 곱셈을 시작했습니다.