차암지구 중1수학과외

차암지구 중1수학과외에서 이어 간 다각형 대각선 풀이

차암지구과외 수업에서 학교 프린트의 다각형 문제를 다시 펼쳤다.

그림을 식으로 바꾸는 순간 생긴 오류

학생은 오각형 그림의 꼭짓점 하나에서 선을 그어 보았다. 인접한 두 꼭짓점으로 이어지는 선은 변이므로 제외하고, 자기 자신에게 연결하는 선도 제외해야 했다. 그런데 학생은 그림을 보자마자 “꼭짓점마다 2개씩이니까 5×2=10개”라고 적었다. 이어서 같은 대각선을 양쪽 꼭짓점에서 각각 센다는 점을 놓친 채 10을 답으로 표시했다.

오류가 시작된 지점은 계산이 아니라 한 대각선을 두 번 세는 방식으로 꼭짓점별 개수를 그대로 더한 판단이었다. 수업에서는 답을 바로 고치지 않고, 오각형의 꼭짓점을 A, B, C, D, E로 이름 붙인 뒤 A에서 그을 수 있는 선부터 표시했다. A에서는 C와 D로 두 개, B에서는 D와 E로 두 개를 새로 표시할 수 있었다. C에서 E로 가는 선까지 그으면 더 이상 새로운 선은 없었다.

따라서 꼭짓점 하나에서 그을 수 있는 대각선 수는 전체 꼭짓점 수에서 자기 자신과 양옆 두 꼭짓점을 뺀 5-3=2이고, 모든 꼭짓점에서 세면 같은 선이 두 번씩 나타난다. 그래서 계산은 5×2÷2=5가 된다. 학생은 자신이 적은 10 옆에 “양끝에서 같은 선을 다시 셈”이라고 적고, 실제 그림의 다섯 선과 식의 결과를 맞춰 보았다.

모양이 바뀌어도 같은 관계를 찾기

다음 문제는 오각형을 옆으로 돌린 그림이었다. 그림의 방향이 달라지자 학생은 꼭짓점 순서를 놓치고, 앞 문제의 선 표시를 그대로 옮기려 했다. 이번에는 회전된 도형의 꼭짓점에 시계 방향으로 A, B, C, D, E를 다시 붙였다. 질문도 “대각선은 몇 개인가?”에서 “한 꼭짓점에서 대각선을 몇 개 그을 수 있는가?”로 바꾸어 읽게 했다.

학생은 먼저 A에서 B와 E는 변이므로 제외하고 C와 D를 연결했다. 이어 각 꼭짓점에서 같은 방법을 적용하되, 이미 센 선은 다시 세지 않도록 선 옆에 작은 표시를 하나씩 남겼다. 모양이 돌아갔어도 꼭짓점과 인접한 두 꼭짓점의 관계는 달라지지 않았고, 대각선의 수 역시 다섯 개로 확인되었다. 이 장면에서 학생은 그림의 방향이 아니라 꼭짓점 사이의 연결 조건이 핵심임을 풀이 문장으로 설명했다.

“도형을 돌려도 이웃한 꼭짓점으로 가는 선은 변이고, 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선만 대각선이다. 한 꼭짓점에서 두 개씩 가능하지만 한 선을 양끝에서 세므로 두 번 나눈다.”

조건을 표로 바꾸어 다시 확인한 풀이

마지막에는 그림 없이 다음과 같은 문장이 제시되었다. “어떤 다각형에서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 4개이다. 이 다각형의 대각선 개수를 구하여라.” 학생은 이전처럼 도형을 먼저 그리지 않고, 조건을 표로 정리했다.

• 한 꼭짓점에서 제외되는 꼭짓점: 자기 자신 1개와 양옆 2개
• 한 꼭짓점에서 가능한 대각선: 전체 꼭짓점 수-3
• 주어진 대각선 수: 4개

학생은 전체 꼭짓점 수-3=4라고 놓고 전체 꼭짓점 수를 7로 정했다. 그 뒤 모든 꼭짓점에서 세면 7×4가 되지만 각각의 대각선이 양끝에서 반복되므로 7×4÷2=14라고 계산했다. 이번에는 숫자를 외워 넣지 않고, 문제의 문장을 “한 꼭짓점에서 가능한 수”와 “전체에서 중복되는 수”로 나누어 식으로 옮겼다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝에 학생에게 칠판의 표시를 가린 뒤, “육각형의 대각선 개수와 이유를 설명하라”고 요청했다. 학생은 먼저 꼭짓점 수를 6이라고 적고, 한 꼭짓점에서 자기 자신과 양옆 두 꼭짓점을 제외하여 6-3=3을 구했다. 이어 6×3÷2=9를 썼다.

학생은 계산을 마친 뒤 육각형을 직접 그리고, 한 꼭짓점에서 건너뛴 두 꼭짓점과 세 꼭짓점에 선을 표시했다. 반대편 꼭짓점에서 같은 선이 다시 표시되는지 확인한 다음 “각 대각선은 양 끝 꼭짓점에서 한 번씩 세어졌으므로 2로 나누었다”고 말했다. 표현이 그림에서 식으로, 다시 문장과 표로 바뀌었지만 대각선의 정의와 중복 계산을 스스로 유지한 것이다. 이처럼 차암지구중1수학과외에서는 답만 확인하지 않고, 도형의 방향과 질문 형태가 달라져도 같은 판단을 독립적으로 재현하는지까지 살핀다.