불당동 중2수학과외

조건을 거꾸로 읽지 않는 이등변삼각형 풀이

천안불당중학교, 천안월봉중학교, 천안불무중학교가 포함된 생활권에서 볼 수 있는 학습 자료였지만, 특정 학교의 시험을 가정하지 않고 도형에 제시된 정보만 살폈다.

그림보다 먼저 한 줄을 잘못 읽다

문제의 그림에는 삼각형 ABC가 있고, ∠B와 ∠C에 같은 표시가 있었다. 보기에는 “삼각형 ABC가 이등변삼각형이 되는 이유”가 제시되어 있었다. 학생은 그림을 돌려 보며 밑변이 어느 쪽인지 찾았고, 각 표시 옆에 숫자를 적으려 했다. 그러나 표시된 두 각이 같다는 조건을 읽은 뒤 곧바로 “이등변삼각형이므로 두 변이 같다”라고 적었다.

이 문장이 결과를 틀리게 만든 최초의 판단이었다. 학생은 아직 이 삼각형이 이등변삼각형이라는 결론을 얻기 전인데도, 결론에 포함된 성질을 이미 주어진 사실처럼 사용했다. 이후 ∠B=∠C에서 AB=AC를 쓰는 과정 자체는 맞을 수 있지만, 왜 그 결론을 사용할 수 있는지 설명하지 못했다.

학생의 첫 메모: “이등변삼각형 → 두 밑각이 같음. 그러므로 같은 각이 보이면 이등변삼각형.”

정의와 성질을 한 줄씩 구분하다

교정은 여러 풀이법을 덧붙이는 방식이 아니었다. 학생이 적어 둔 문장 옆에 ‘정의’와 ‘성질’을 구분해 표시하게 했다. 이등변삼각형의 정의는 “두 변의 길이가 같은 삼각형”이다. 반대로 이등변삼각형에서 밑각이 같다는 것은 성질이다. 따라서 문제에서 두 변이 같다고 주어지면 정의로 바로 판단하고, 두 각이 같다고 주어지면 그 사실이 이등변삼각형을 판단하게 하는 조건인지 확인해야 한다.

학생은 같은 그림에 다음처럼 다시 썼다.

• AB=AC가 주어짐 → 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형
• ∠B=∠C가 주어짐 → 같은 각에 마주 보는 변이 같은지 확인

두 번째 경우에는 ∠B와 마주 보는 변이 AC이고, ∠C와 마주 보는 변이 AB라는 점을 표시했다. 그래서 ∠B=∠C이면 AC=AB로 연결되고, 그 뒤에야 “따라서 삼각형 ABC는 이등변삼각형”이라고 결론을 적었다. 이미 맞았던 각의 대응 표시와 변의 이름 확인은 그대로 유지했다.

회전한 그림과 질문이 바뀐 문제

다음 문제에서는 삼각형을 90도 돌린 모양으로 제시하고, 같은 길이 표시 대신 ∠A와 ∠C가 같다는 문장을 주었다. 질문도 “어떤 두 변의 길이가 같은가?”로 바뀌었다. 학생은 먼저 그림의 위아래 위치를 기준으로 판단하지 않고, 각의 맞은편 변을 각각 찾았다. ∠A의 맞은편은 BC, ∠C의 맞은편은 AB라고 적은 뒤 ∠A=∠C이므로 BC=AB라고 설명했다.

이번에는 이등변삼각형이라는 말을 먼저 써서 조건을 끼워 맞추지 않았다. 주어진 각의 관계를 같은 변의 관계로 바꾸고, 그 결과로 두 변이 같다는 정의를 적용했다. 질문이 “이등변삼각형인지 판단하라”에서 “같은 변을 구하라”로 바뀌었어도 첫 행동은 같았다. 각의 위치를 읽고, 맞은편 변을 표시하는 것이었다.

힌트 없이 판단을 다시 세우는 확인

한 주 뒤 학생에게 숫자나 같은 그림을 제공하지 않고, “삼각형 PQR에서 PQ와 PR의 길이가 같다는 조건이 주어졌다. 이 삼각형의 이름과 같은 각을 말하라”는 문제를 제시했다. 학생은 별도의 표시를 기다리지 않고 PQ와 PR에 같은 밑줄을 그었다.

학생은 먼저 “두 변 PQ, PR이 같으므로 정의에 따라 이등변삼각형”이라고 썼다. 이어서 같은 변의 맞은편 각을 찾아 ∠R과 ∠Q가 같다고 적었다. 검산할 때는 자신이 쓴 두 변이 실제로 한 꼭짓점 P에서 만나고, 남은 변 QR이 밑변인지 확인했다. 또 “같은 각을 찾을 때는 같은 변의 맞은편 각을 비교해야 한다”고 풀이 아래에 덧붙였다.

이 과정은 답만 맞힌 장면이 아니다. 학생은 새 문제에서 조건을 읽은 뒤 정의를 먼저 선택했고, 성질을 사용할 때도 그 근거를 분리했다. 불당동중2수학과외에서 확인한 핵심은 그림의 방향이나 질문의 순서가 아니라, 주어진 조건이 정의인지 성질을 이용한 판단인지 스스로 구분하는 첫 문장이었다.