불당동 중1수학과외

불당동 중1수학과외에서 이어진 합동 삼각형 풀이

불당동과외 수업에서 학생은 천안불당중학교가 포함된 생활권의 서술형 문제를 풀고 있었다. 조건은 AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E였고, 두 삼각형이 합동일 때 점 A에 대응하는 점과 ∠C에 대응하는 각을 쓰라는 내용이었다.

답을 쓰기 전 한 줄에서 드러난 판단

학생은 문제에 나온 순서대로 “△ABC와 △DEF가 합동이므로 A는 D, B는 E, C는 F”라고 적었다. 그런데 그림에서는 삼각형 DEF가 회전되어 있어 실제로는 AB와 DE, BC와 EF가 대응한다는 조건을 먼저 읽어야 했다. 학생은 예제에서 보았던 꼭짓점 배열을 그대로 기억해 대응점을 정한 것이었다. 여기서 풀이가 어긋나기 시작했다. 합동 여부를 판단하기 전에 두 삼각형의 대응 관계를 주어진 변과 각으로 확인하지 않은 것이다.

교사는 학생이 이미 정확히 찾아낸 AB와 DE, BC와 EF의 길이 관계는 지우지 않게 했다. 대신 두 변이 만나는 점을 표시하도록 했다. AB와 BC가 만나는 점은 B이고, DE와 EF가 만나는 점은 E이므로 B와 E가 서로 대응한다. 이어 AB의 다른 끝점 A는 DE의 다른 끝점 D와 연결되고, BC의 다른 끝점 C는 EF의 다른 끝점 F와 연결된다. 학생은 그림 위에 A-D, B-E, C-F를 선으로 표시한 뒤 “∠B와 ∠E가 대응하므로 B와 E가 기준점이다”라고 답안에 적었다.

주어진 변의 짝을 먼저 확인하면 그 변들이 만나는 대응점이 정해지고, 나머지 꼭짓점도 따라 결정된다.

도형을 돌려 놓고 같은 관계를 다시 읽다

다음 문제에서는 삼각형 DEF가 반대 방향으로 회전된 그림이 나왔다. 이번에는 “△ABC와 합동인 삼각형의 이름을 대응 순서에 맞게 쓰고, ∠A에 대응하는 각을 설명하라”는 질문이었다. 학생은 그림의 위아래 위치를 보고 잠시 A와 F를 연결하려 했지만, 곧바로 연필을 멈추고 조건표를 만들었다.

• AB ↔ DE
• BC ↔ EF
• ∠B ↔ ∠E

그 표를 바탕으로 학생은 “B와 E가 대응하고, B에 붙은 AB는 E에 붙은 DE와 대응한다. 따라서 A와 D가 대응한다. 같은 방식으로 C와 F가 대응한다”라고 문장으로 정리했다. 그래서 합동 삼각형은 △DEF가 아니라 △DEF의 대응 순서를 확인해 쓴 △DEF였고, ∠A에 대응하는 각은 ∠D라고 적었다. 단순히 도형의 방향을 따라간 것이 아니라 변과 각의 연결을 근거로 답을 정한 장면이었다.

질문의 방향이 바뀌어도 대응점을 찾는 과정

불당동중1수학과외의 다른 연습에서는 조건의 제시 순서가 달랐다. 먼저 ∠C=∠F가 주어지고, 두 삼각형이 합동이라는 사실이 제시된 뒤 “점 E에 대응하는 점과 변 DE에 대응하는 변을 쓰라”는 질문이 나왔다. 학생은 이전처럼 첫 번째 꼭짓점끼리 짝을 짓지 않고, 이미 확인된 C-F를 기준으로 두었다.

앞의 관계에서 B-E가 대응하므로 남은 A-D도 대응한다는 점을 다시 확인한 뒤, 점 E에 대응하는 점은 B, 변 DE에 대응하는 변은 AB라고 썼다. 답안에는 “E는 ∠E와 EF, DE가 만나는 꼭짓점이고, 이에 대응하는 꼭짓점은 ∠B와 BC, AB가 만나는 B이다”라고 적었다. 질문이 점에서 변으로 바뀌었지만 대응점과 그 점에 연결된 변을 다시 이어서 판단했다.

힌트 없이 되짚은 최종 확인

수업 끝에 학생은 새로운 그림을 받았다. 이번에는 조건이 AB=EF, AC=DF, ∠A=∠F로 제시되어 있었고, “점 B에 대응하는 점과 ∠C에 대응하는 각을 쓰고 이유를 서술하라”는 문제였다. 도움 없이 학생은 먼저 AB와 EF를 같은 색으로 표시하고 AC와 FD를 다른 색으로 표시했다. 두 변이 만나는 A와 F를 대응점으로 정한 뒤, AB의 다른 끝점 B는 EF의 다른 끝점 E와 대응하고, AC의 다른 끝점 C는 FD의 다른 끝점 D와 대응한다고 설명했다.

학생의 최종 답은 “A와 F가 대응하고 AB와 FE가 대응하므로 B와 E가 대응한다. 또한 AC와 FD가 대응하므로 C와 D가 대응한다. 따라서 ∠C에 대응하는 각은 ∠D이다”였다. 마지막으로 ∠A와 ∠F, AB와 FE, AC와 FD를 원래 조건에 다시 대조해 표시했다. 도형이 회전되거나 질문 순서가 바뀌어도 주어진 변과 각을 먼저 연결하고, 그 연결에서 대응점을 정한다는 풀이를 스스로 재현한 것이다.