두정생활권 중1수학과외

다각형의 대각선 개수, 한 줄의 오류에서 다시 확인하기

두정역마을과 백송마을이 이어지는 생활권에서 중1 수학 과외를 진행하며, 천안두정중학교가 포함된 생활권의 한 학생과 다각형의 대각선 개수를 살펴봤다. 학생은 “한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수에 꼭짓점 수를 곱하면 전체 개수”라고 생각하고 풀이를 시작했다. 이 문제는 계산보다 어떤 선분을 대각선으로 세는지를 먼저 판단하는 과정이 핵심이었다.

학생의 첫 풀이에서 거꾸로 확인한 오류

문제는 “팔각형의 대각선은 모두 몇 개인가?”였다. 학생은 팔각형을 그리고 꼭짓점에 1부터 8까지 번호를 붙였다. 이어서 1번 꼭짓점에서 3번, 4번, 5번, 6번, 7번으로 선을 그어 “한 꼭짓점에서 5개”라고 적었다. 여기까지는 정확했다. 그 뒤에는 5×8=40이라고 계산하고 답을 40개라고 썼다.

오답을 바로 지적하기보다 학생이 적은 선을 번호 순서대로 다시 살폈다. 1번에서 3번으로 그은 선은 3번에서 1번으로 그은 선과 같은 선분이다. 1번에서 4번으로 그은 선도 다른 꼭짓점에서 다시 세면 중복된다. 따라서 한 꼭짓점에서 센 수를 전체 꼭짓점 수와 곱하면, 모든 대각선을 두 번씩 세게 된다는 점이 계산이 어긋난 최초의 판단이었다.

한 대각선은 양 끝 꼭짓점에서 모두 출발할 수 있으므로, 전체를 셀 때는 두 번 센 값을 절반으로 줄인다.

이미 맞았던 과정은 살리고 계산 한 곳만 고치기

학생이 1번 꼭짓점에서 3번부터 7번까지 연결한 과정은 그대로 두었다. 팔각형의 한 꼭짓점에서 연결할 수 있는 대각선은 자기 자신과 양옆의 두 꼭짓점을 제외한 다섯 개다. 이제 “각 대각선을 양 끝에서 한 번씩 세었다”는 표시를 식 옆에 적고, 5×8÷2=20으로 수정했다.

구한 값이 실제 그림과 맞는지도 확인했다. 1번에서 시작한 다섯 선, 2번에서 새로 세는 4번·5번·6번·7번·8번으로의 선, 그리고 이어지는 선을 중복 없이 묶으면 모두 20개가 된다. 단순히 공식을 외운 것이 아니라, 같은 선분이 두 꼭짓점에 걸쳐 있다는 사실을 계산에 반영한 것이다.

도형을 돌리고 질문의 방향을 바꾼 적용

다음에는 같은 팔각형을 시계 방향으로 돌려 놓고, 꼭짓점 이름을 숫자 대신 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ으로 바꾼 그림을 제시했다. 문제도 “대각선 전체 중 ㄱ에서 출발하는 대각선은 몇 개이며, 전체 대각선은 몇 개인가?”로 순서를 바꾸었다.

학생은 그림이 돌아갔다는 이유로 선을 새로 세지 않았다. 먼저 ㄱ에서 자신과 양옆의 ㄴ, ㅇ을 제외하고 ㄷ부터 ㅅ까지 다섯 개를 표시했다. 이어 “한 대각선은 두 끝점에서 세어지므로 전체에서는 두 번 세어진다”고 적어 8×5÷2=20을 만들었다. 질문이 먼저 한 꼭짓점의 개수를 묻고 전체 개수를 나중에 묻더라도, 꼭짓점의 대응 관계와 선분의 중복 여부를 먼저 확인한 것이다.

힌트 없이 새 조건에서 재현한 풀이

검증에서는 “십각형의 대각선 중 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 수와 전체 개수를 각각 구하라”는 조건만 남겼다. 학생은 도움을 기다리지 않고 십각형의 한 꼭짓점에 표시를 한 뒤, 자기 자신과 양옆 두 꼭짓점을 제외하면 10-3=7개라고 설명했다. 전체는 10개의 꼭짓점에서 각각 7개씩 세므로 70이지만, 모든 대각선이 양 끝에서 두 번 세어졌다고 말하며 70÷2=35를 적었다.

마지막으로 “십각형에서 대각선의 수가 변의 수보다 많은 것은 자연스럽다. 한 꼭짓점에서 여러 대각선이 나오고, 중복만 두 번 조정했기 때문이다”라고 검산 근거를 한 문장으로 설명했다. 그림을 회전하거나 질문 순서를 바꾸어도 자기 자신과 이웃 꼭짓점을 제외하고, 중복된 횟수를 절반으로 조정하는 흐름을 스스로 재현했다.

이처럼 두정생활권과외에서는 답만 확인하지 않고, 대각선을 처음 잘못 세기 시작한 지점을 따라가며 풀이를 다시 세운다. 두정생활권중1수학과외에서도 도형의 모양보다 꼭짓점 사이의 연결 관계를 직접 표시하고, 마지막에는 새로운 다각형에서 같은 판단을 혼자 재현하는지 확인한다.