수영구 고3수학과외

넓이를 계산하기 전에, 답을 제한하는 조건부터 찾은 장면

6월 모의평가 오답을 다시 펼친 날, 학생은 삼각형의 넓이를 구하는 식부터 쓰지 않았다. 문제에는 점 A(0, 0), B(t, 0), C(2, 4)가 주어지고, 2<t≤7인 정수 t에 대하여 넓이의 범위를 묻고 있었다. 예전 풀이에서는 좌표를 보고 곧바로 밑변을 t, 높이를 4로 두어 넓이 2t를 구한 뒤, t의 범위를 끝까지 적용하지 않았다.

이번에는 문제의 제한을 먼저 동그라미로 묶었다. 밑변이 x축 위에 있으므로 높이는 C의 y좌표인 4이고, 넓이는 1/2×t×4=2t라고 적었다. 그 다음에야 2<t≤7을 대입했다. 따라서 넓이는 4보다 크고 14 이하이다. t가 정수라는 조건까지 사용하면 가능한 넓이는 6, 8, 10, 12, 14가 된다.

답이 자연스러워 보여도 조건을 빠뜨리면 틀린다

최초 오류는 계산이 아니라 조건을 식에 연결하지 않은 행동이었다. 학생은 과거에 넓이의 식 2t만 세운 뒤 t를 양수라고만 생각했다. 그러면 t=1도 들어가 넓이 2가 되지만, 원래 문제에서는 t>2이므로 허용되지 않는다. 결과에 작은 수가 포함되어 있어도 계산이 매끄럽다는 이유만으로 정당한 답이라고 볼 수 없었다.

교정은 크게 다시 풀지 않는 방식으로 진행했다. 첫 줄에 제한조건을 옮겨 적고, 계산이 끝난 뒤 원래 조건에 후보를 대입했다. 예를 들어 넓이 4를 거꾸로 추적하면 t=2가 나오는데, 2<t를 만족하지 않으므로 바로 제외된다. 학생은 이처럼 후보를 얻은 뒤 조건을 확인하는 역방향 점검을 풀이의 마지막 단계로 고정했다.

부산남일고등학교와 덕문여자고등학교가 있는 생활권에서 부산수영구고3수학과외 자료를 정리하던 중에도, 특정 학교의 출제 경향을 추측하지 않고 이 한 문제의 조건만 추적했다. 수영구과외 학습 기록에는 “넓이 계산 전 제한조건 표시”를 짧게 남겼다.

표가 먼저 나오든 식이 먼저 나오든

조건의 순서를 바꾼 변형에서는 A(0, 0), B(s, 0), C(3, 5), 그리고 1≤s<6이 제시되었다. 이번에는 좌표 설명보다 조건표가 먼저 나왔지만 학생은 표를 읽은 즉시 s의 범위를 표시했다. 넓이는 1/2×s×5=5s/2이고, s가 정수이면 가능한 넓이는 5/2, 5, 15/2, 10, 25/2였다. 조건 하나를 빼고 s<6만 남기면 s=1도 가능하므로 최솟값이 달라진다는 점도 직접 설명했다.

또 다른 변형에서는 3≤s≤8이라는 정수조건이 붙고, 넓이가 20 이하인 s의 개수를 물었다. 학생은 먼저 넓이 조건에서 5s/2≤20, 즉 s≤8을 얻은 뒤 원래 구간과 비교했다. 그래서 s=3, 4, 5, 6, 7, 8의 6개라고 답했다. 경계 전후를 나누어 적으라는 요구가 없었지만, s=2는 원래 조건 밖이고 s=9는 넓이 조건 밖이라고 각각 표시했다.

힌트 없이 남은 판단

마지막에는 보기와 해설을 가린 채, 표와 식의 제시 순서가 뒤섞인 문제를 건넸다. “점 P(t, 0), Q(1, 3), R(0, 0)으로 이루어진 삼각형의 넓이가 3 이상 12 미만이고 t는 정수”라는 문장이었다. 학생은 먼저 1/2×t×3=3t/2를 세운 뒤 3≤3t/2<12에서 2≤t<8을 얻었다. 따라서 가능한 정수는 2부터 7까지라고 했다.

검산을 요구하자 t=2와 t=7을 원식에 넣어 넓이가 각각 3과 21/2임을 확인했고, t=8은 넓이가 12가 되어 미만 조건을 어긴다고 설명했다. 마지막으로 “조건을 하나 삭제하면 t=1도 들어와 결론이 바뀐다”고 반례를 제시했다. 처음처럼 자연스러운 계산값만 믿지 않고, 제한조건을 찾고 첫 식의 근거를 밝힌 뒤 경계 후보를 원식에 되돌려 넣는 판단이 새로운 표현에서도 유지된 것이다.