부산북구 중3수학과외

부산북구 중3수학과외에서 살펴본 전개식의 일차항

부산북구과외 수업에서 다항식의 곱셈을 연습하던 중, 학생이 두 식을 나란히 적어 놓았습니다.

(x+3)(x-5) = x²-15

x(x-5)+3(x-5) = x²-2x-15

두 번째 식은 맞았지만 첫 번째 식에는 일차항이 빠져 있었습니다. 이번 부산북구중3수학과외에서는 인수분해나 이차방정식으로 넘어가지 않고, (x+a)(x+b)를 전개할 때 일차항의 계수와 부호를 확인하는 과정만 다루었습니다. 화명중학교, 용수중학교 등이 포함된 생활권에서 공부하는 학생이라면 부산광역시립구포도서관 인근 생활권의 자습 공간에서 이런 식을 직접 비교해 보는 것도 좋지만, 중요한 것은 장소보다 전개 기록의 순서입니다.

표현이 달라진 순간 사라진 한 항

학생은 도서관 자습 시간에 다음 문제를 풀었습니다.

(x+4)(x-2)를 전개하여 정리하시오.

풀이 기록은 다음과 같았습니다.

x·x=x², 4·(-2)=-8

따라서 (x+4)(x-2)=x²-8

계산한 두 곱은 각각 맞았습니다. 그러나 괄호 안의 모든 항을 서로 곱하지 않았습니다. 첫 번째 괄호의 x는 두 번째 괄호의 -2와도 곱해져야 하고, 4는 두 번째 괄호의 x와도 곱해져야 합니다. 학생은 식의 모양이 바뀌자 ‘제곱항과 상수항만 찾으면 된다’고 먼저 판단했고, 그때 일차항 두 개가 계산에서 빠졌습니다. 이것이 최종 답을 틀리게 만든 계산 실수보다 앞선 최초의 어긋남입니다.

항별 곱을 보이게 적기

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 괄호를 바로 줄이지 않고, 첫 번째 괄호의 각 항이 두 번째 괄호의 각 항과 만나는 네 항을 먼저 적도록 했습니다.

• x·x = x²
• x·(-2) = -2x
• 4·x = 4x
• 4·(-2) = -8

그 뒤에야 식을 한 줄로 모았습니다.

x²-2x+4x-8 = x²+2x-8

여기서 -2x와 4x는 같은 종류의 일차항이므로 계수끼리 계산합니다. 따라서 일차항의 계수는 -2+4=2입니다. 처음 풀이에서 맞았던 x²와 -8은 그대로 유지하고, 빠졌던 두 항만 되살렸습니다. ‘전개한 뒤 정리한다’는 순서를 지키자, 표현이 달라져도 일차항을 확인할 수 있었습니다.

괄호의 순서를 바꾸어 다시 보기

며칠 뒤에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 부호와 식의 배열을 바꾼 문제를 제시했습니다.

(-3+x)(5-x)를 전개하여 x의 계수를 구하고 전체 식을 정리하시오.

이번에는 첫 괄호를 -3+x로 읽고, 항을 다음처럼 짝지었습니다.

• (-3)·5 = -15
• (-3)·(-x) = 3x
• x·5 = 5x
• x·(-x) = -x²

따라서 전개식은 -15+3x+5x-x²이고, 순서를 정리하면 -x²+8x-15입니다. 앞의 문제처럼 x²이 항상 먼저 나오거나 상수항이 마지막에 나온다고 가정하지 않았습니다. 네 항을 모두 만든 뒤, 3x와 5x처럼 같은 종류인 일차항만 합쳤습니다. 이 문제에서 확인할 대상은 여전히 일차항의 계수이며, 다른 수학 개념으로 넓히지 않았습니다.

힌트 없이 확인한 전개 기록

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.

(2x-7)(x+3)을 전개하고 일차항의 계수를 쓰시오.

학생은 먼저 네 항을 적었습니다.

2x·x=2x², 2x·3=6x, (-7)·x=-7x, (-7)·3=-21

2x²+6x-7x-21 = 2x²-x-21

일차항의 계수는 -1

이번에는 풀이 중간에 별도의 힌트를 주지 않았습니다. 학생은 일차항이 6x와 -7x라는 점, 부호가 서로 다르다는 점을 스스로 설명했습니다. 이어 전개 전 식에 x=2를 대입하면 (4-7)(2+3)=-15이고, 전개 후 식에 x=2를 대입해 2(4)-2-21=-15를 얻었습니다. 전개 전후의 값이 같으므로 빠진 항이나 부호 변경이 없다고 검산했습니다. 새로운 배열에서도 항별 곱, 일차항 계수 확인, 대입 비교를 혼자 재현한 장면입니다.