화명동 고1수학과외
화명동 고1수학과외, 같은 것이 있는 배열에서 경계 조건을 놓친 사례
화명동에서 수학을 공부하던 학생은 같은 물건이 포함된 배열 문제를 풀며 전체 배열 수는 계산했지만, 양끝 자리에 대한 조건이 붙자 경우를 정확히 나누지 못했다. 예를 들어 A, A, B, C를 한 줄로 배열할 때 A 두 개를 서로 다른 물건처럼 세어 24를 얻은 뒤, 같은 A의 중복을 나누는 과정도 빠뜨렸다.
같은 A를 별개의 자리로 세면서 생긴 오류
학생은 네 자리를 먼저 채우는 방식으로 경우를 세었다. 그러나 두 A는 서로 구별되지 않으므로 A의 위치만 바뀐 배열은 하나의 배열로 보아야 한다. 이 차이를 놓치면서 전체 경우의 수와 양끝 조건이 모두 달라졌다.
같은 문자가 반복되면 자리 배치가 달라도 실제 배열이 같은지 먼저 분류한다.
교사는 계산을 바로 이어 가지 않고, 양끝에 놓일 수 있는 문자를 기준으로 경우를 나누게 했다. 양끝 중 한 곳에만 A가 놓이는 경우와 양끝 모두 A가 놓이는 경우를 구분한 뒤, 각 경우에서 남은 자리의 배열을 계산했다. 이렇게 하면 같은 A를 두 번 세는 문제가 줄어들고, 경계 조건이 어느 경우에 반영되는지도 드러난다.
양끝 조건을 바꿔 다시 배열하기
이후에는 A, A, B, C를 배열하되 “양끝 중 적어도 한 곳에 A가 놓인다”는 문장으로 조건을 바꾸었다. 학생은 양끝의 상태를 먼저 분류하고, 가운데 두 자리에 남는 문자를 배열하는 방식으로 풀이를 다시 구성했다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 조건의 범위를 양끝 전체로 넓혀 경우를 판단하게 한 활동이었다.
- 양끝이 모두 A인 경우
- 양끝 중 한 곳만 A인 경우
- 양끝에 A가 없는 경우
마지막에는 A, A, B, C 대신 A, A, B, B를 제시하고, 양끝 문자가 서로 다를 때의 배열 수를 확인하게 했다. 학생은 앞서 정한 경우 구분을 그대로 적용하되, 같은 문자의 중복이 두 종류로 늘어난 상황에서 각 배열이 중복 계산되지 않는지 점검했다.
답만 맞히는 데 그치지 않고, 각 경우가 서로 겹치지 않으며 빠진 배열도 없는지 설명하면서 같은 것이 있는 배열의 경계 조건을 독립적으로 확인했다.