학익지구 중1수학과외

그림의 방향이 바뀌어도 동위각을 찾는 과정

학익지구의 대성유니드 아파트와 도화e편한세상아파트가 있는 생활권에서 중1수학 과외를 진행하며, 한 학생의 평행선 문제 풀이를 다시 따라가 보았다. 문제에는 두 직선 l, m이 서로 평행하고, 한 직선이 두 평행선을 가로지르는 그림이 제시되어 있었다. 그림에 표시된 각 하나의 크기는 68°였고, 다른 교점에서 같은 위치에 놓인 각의 크기를 구하는 문제였다.

답이 달라진 지점부터 거꾸로 확인하기

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

“68°와 구하려는 각은 서로 마주 보는 각이므로 68°이다.”

결과만 보면 답은 우연히 맞을 수도 있었지만, 이 문장이 최초의 문제였다. 학생은 두 각이 같은 교점에서 마주 보는 관계인지 확인하지 않고, 단지 그림에서 비슷한 방향으로 보인다는 이유로 맞꼭지각이라고 판단했다. 친구의 풀이에는 “두 평행선을 가로지르는 선이 만들고, 각 두 개가 각각 같은 위치에 있다”는 표시가 먼저 되어 있었다. 두 풀이를 나란히 놓고 보니 학생은 뒤의 계산이 아니라 각의 관계를 정하는 첫 판단에서 흔들린 것이었다.

학생에게 그림에 실제로 그려진 선과 각 표시만 다시 보게 했다. 임의로 선을 연장하거나 모양이 비슷하다는 느낌을 사용하지 않고, 위쪽 교점의 오른쪽 위에 표시된 각과 아래쪽 교점의 오른쪽 위에 표시된 각을 손가락으로 차례로 짚었다. 두 각은 같은 교점에서 마주 보는 각이 아니며, 서로 다른 교점에서 같은 자리에 있는 동위각이었다.

첫 식에 근거를 붙여 다시 쓰기

학생은 이번에는 바로 숫자를 쓰지 않고 그림 옆에 관계를 적었다.

• 직선 l과 m은 평행하다.
• 한 직선이 두 평행선을 가로지른다.
• 두 각은 각각의 교점에서 같은 위치에 있다.
• 따라서 두 각은 동위각이다.

그 뒤에야 “동위각의 크기는 같으므로 구하는 각은 68°”라고 작성했다. 처음에 적었던 답을 버리는 대신, 답에 이르는 첫 근거를 바꾼 것이다. 선의 기울기나 도형의 크기가 아니라 평행하다는 조건과 각의 위치를 근거로 삼자 풀이가 분명해졌다.

도형의 모양을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 그림을 90도 돌려 놓고, 점 이름도 새로 정했다. 평행한 두 직선을 세로로 배치하고, 가로로 지나가는 선 위에 P와 Q를 표시했다. 위 교점에서 왼쪽 아래에 115°가 주어졌으며, 아래 교점에서 왼쪽 아래에 놓인 각을 구하도록 했다. 학생은 이전 그림의 위아래 방향을 찾으려 하지 않고, 먼저 두 교점에서 각이 놓인 위치를 작은 표시로 표시했다.

학생은 “P에서 왼쪽 아래, Q에서도 왼쪽 아래이므로 같은 위치”라고 말한 뒤 동위각이라고 적었다. 그림이 옆으로 돌아가도 ‘위쪽 각’이나 ‘아래쪽 각’이라는 말에 매이지 않고, 각을 이루는 두 선과 위치를 직접 비교한 것이다. 이어서 주어진 115°를 분리해 표시하고, 구하는 각에는 물음표를 썼다. 두 각이 동위각이라는 판단을 먼저 세운 뒤, 구하는 각도 115°라고 답했다.

이번에는 친구의 풀이를 보지 않고, 문제의 문장을 그림으로 옮기는 순서도 바꾸었다. “두 직선은 평행하고, 횡단선이 만든 두 각의 크기가 같다”는 조건에 밑줄을 긋고, 그 조건이 가리키는 각을 그림에서 찾았다. 그림의 방향과 점 이름이 달라도 평행선, 횡단선, 같은 위치라는 세 가지 근거를 분리해 확인했다.

힌트 없이 다시 세운 검산

다음 날 학생은 별도의 표시 없이 새로운 그림을 받았다. 두 평행선은 기울어져 있었고, 주어진 각은 72°였다. 학생은 먼저 평행 표시를 확인한 다음 두 교점에서 해당 각이 놓인 자리를 각각 동그라미로 표시했다. “같은 교점의 마주 보는 각인지, 다른 교점의 같은 위치인지”를 스스로 구분한 뒤 동위각이라고 설명했다.

구한 값 72°를 답란에 쓰고 끝내지 않고, “동위각은 평행선과 횡단선이 만들며, 두 각이 각 교점에서 같은 자리에 있으므로 크기가 같다”라고 풀이 이유를 적었다. 이어 처음 주어진 각의 크기와 자신이 구한 각의 크기를 다시 대조해 72°와 72°가 일치하는지 확인했다. 마지막으로 그림의 방향을 반대로 바라보아도 두 각의 위치 관계가 바뀌지 않는지 손으로 선을 따라가며 점검했다.

학익지구과외에서 확인한 이 사례는 동위각 문제의 핵심이 숫자 계산에 있지 않음을 보여준다. 학익지구중1수학과외에서도 학생이 그림의 겉모양보다 실제로 주어진 평행 표시와 각의 위치를 먼저 읽도록 지도하면, 도형이 회전되거나 점 이름이 바뀐 문제에서도 같은 관계를 스스로 재현할 수 있다.