관교동 중3수학과외

관교동 중3수학과외에서 살펴본 tan의 기준각 선택

관교동과외 수업에서 단원평가 직전 풀이를 함께 확인했습니다. 관교중학교, 남인천여자중학교, 관교여자중학교가 포함된 생활권이나 동부아파트와 동아아파트가 있는 관교동 생활권에서도 자주 만나는 문제는 삼각비의 계산 자체보다 tan을 어느 각도와 두 변으로 읽을 것인가를 먼저 결정하는 문제입니다. 이번 관교동중3수학과외에서는 다른 삼각비로 넓히지 않고, tan을 대변과 인접변의 비로 읽는 한 가지 기준만 다뤘습니다.

계산보다 먼저 적은 한 줄

제시된 직각삼각형에서 ∠A=35°, ∠C=90°이고, 변 AC=8cm, 변 BC=xcm였습니다. 문제는 ∠A에 대한 tan의 값을 구하는 것이었습니다. 학생은 그림을 보자마자 아래처럼 적었습니다.

tan 35° = AC ÷ BC = 8 ÷ x

그 뒤 양변을 이용해 x를 구하려 했지만, 식의 방향이 문제의 기준과 맞지 않았습니다. 풀이 기록을 되짚어 보니 학생은 계산 전에 ∠A에 표시하거나, ∠A에서 마주 보는 변과 붙어 있는 변을 구분하지 않았습니다. 그림에서 길이가 적힌 변을 먼저 골라 놓고 기준각을 나중에 맞추려 했던 것입니다.

여기서 가장 먼저 어긋난 판단은 숫자 8을 잘못 계산한 것이 아닙니다. 기준각을 확인하기 전에 변을 선택한 것이었습니다. 이 선택이 먼저 틀렸기 때문에 이후의 나눗셈이 정확해도 tan의 의미와 다른 식이 됩니다.

한 표시만 바꾸어 식을 다시 세우기

교정은 복잡하지 않았습니다. 학생이 이미 적어 둔 직각 표시와 변의 길이는 그대로 두고, ∠A에 동그라미를 친 다음 두 변의 역할을 다시 표시했습니다.

• ∠A에서 마주 보는 변: BC=x
• ∠A에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변: AC=8

따라서 tan은 대변을 인접변으로 나눈 비이므로 다음과 같이 세워야 합니다.

tan 35° = BC ÷ AC = x ÷ 8

앞서 적은 8과 x를 새로 계산한 것이 아니라, 기준각에 맞게 두 변의 역할만 다시 선택했습니다. 문제에서 tan 35°의 값이 약 0.70으로 주어졌다면 0.70=x÷8이므로 x=5.6cm입니다. 이 과정에서 중요한 기록은 ‘tan은 기준각에서 대변÷인접변’이라는 한 줄이며, 다른 삼각비를 끌어오지 않았습니다.

그림이 옆으로 누워도 기준은 그대로

다음에는 표현을 바꾼 문제를 제시했습니다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°이고, ∠R를 기준으로 볼 때 선분 PQ의 길이가 6cm, 선분 QR의 길이가 10cm였습니다. 이번에는 길이를 구하는 문제가 아니라 tan R의 값을 묻는 형태였습니다.

학생은 먼저 ∠R에 화살표를 표시하고, 그 각에서 건너편에 있는 PQ와 바로 이어진 QR을 구별했습니다. 그래서

tan R = PQ ÷ QR = 6 ÷ 10 = 3 ÷ 5

라고 설명했습니다. 처음 문제처럼 기준각이 왼쪽에 표시된 그림이 아니었고, 미지수를 구하는 식도 아니었지만, 학생은 그림의 방향이나 질문의 형태가 아니라 기준각을 중심으로 대변과 인접변을 골랐습니다. 이 변형은 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 각의 위치와 요구하는 결과를 바꿔 같은 tan의 판단을 확인한 장면입니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

마지막에는 설명이나 표시 없이 다음 문제를 풀게 했습니다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=90°, XY=9cm, YZ=12cm이고, ∠X에 대한 tan X를 구하라는 문제였습니다. 학생은 풀이 첫 줄에 ‘X에서 반대편은 YZ, 붙은 변은 XY’라고 적었습니다.

tan X = YZ ÷ XY = 12 ÷ 9 = 4 ÷ 3

검산에서는 구한 비를 원래 두 변에 대입했습니다. 12÷9가 4÷3과 같으므로, tan X에 사용한 대변 YZ=12와 인접변 XY=9의 비가 처음 그림의 길이와 일치한다고 설명했습니다. “9를 12로 나누지 않은 이유는?”이라는 질문에도 “X에서 12인 YZ가 마주 보는 변이고, 9인 XY가 붙은 변이기 때문”이라고 답했습니다. 힌트 없이 기준각을 먼저 선택하고, 그 선택이 원래 직각삼각형의 두 변과 맞는지 확인했으므로 tan을 대변과 인접변의 비로 읽는 판단을 스스로 재현한 것입니다.