안락동 중3수학과외
안락동 중3수학과외에서 확인한 전개식의 첫 판단
안락동과외 수업에서 남일중학교가 포함된 생활권의 서술형 문제를 풀이하던 중, 한 학생의 답안에서 계산보다 앞선 판단이 눈에 띄었습니다. 문제는 (2x-3)(x+4)를 전개하라는 내용이었습니다. 남흥아파트와 부산광역시립명장도서관 인근 생활권에서 자주 접하는 학습 사례처럼, 식 자체는 어렵지 않았지만 곱해지는 항을 확인하는 순서가 결과를 좌우했습니다.
학생은 답안에 다음과 같이 적었습니다.
“2x·x=2x², -3·4=-12이므로 (2x-3)(x+4)=2x²-12.”
겉으로는 두 계산을 적었지만, 두 괄호의 모든 항이 서로 곱해져야 한다는 조건을 첫 계산 전에 확인하지 않았습니다. 그래서 2x와 4, -3과 x에서 생기는 항이 빠졌고, 이후의 정리는 아무리 조심해도 올바른 전개가 될 수 없었습니다.
계산 전에 식에서 표시한 것
답안을 다시 쓰게 하면서 먼저 곱해져야 할 대상을 표시했습니다. 첫 번째 괄호의 항은 2x, -3, 두 번째 괄호의 항은 x, +4였습니다. 따라서 항별 곱은 네 가지가 되어야 한다는 한 줄을 식 옆에 남겼습니다.
- 2x와 x
- 2x와 +4
- -3과 x
- -3과 +4
이제 학생은 기존에 맞게 계산했던 2x·x와 (-3)·4를 그대로 유지하고, 빠졌던 두 항을 추가했습니다.
(2x-3)(x+4)
=2x·x+2x·4-3·x-3·4
=2x²+8x-3x-12
=2x²+5x-12
여기서 핵심은 새로운 계산법을 여러 개 덧붙이는 것이 아니었습니다. 가장 먼저 빠뜨린 판단, 즉 두 괄호의 항을 빠짐없이 짝지어야 한다는 확인만 바로잡았습니다. 이미 맞았던 곱셈은 지우지 않고, 누락된 항을 채운 뒤 동류항인 8x와 -3x만 정리했습니다. 이 과정을 통해 전개식은 중간 계산의 모양을 남길수록 빠진 항을 발견하기 쉽다는 점도 확인했습니다.
모양을 바꾼 전개식에 적용하기
같은 기준을 숫자만 바꾼 문제에 반복하지 않고, 항의 순서와 부호를 바꾼 식으로 옮겼습니다. 이번 문제는 (x-5)(-3x+2)를 전개하라였습니다. 학생은 먼저 첫 괄호의 x, -5와 두 번째 괄호의 -3x, +2를 따로 적었습니다. 그 다음 네 항의 곱을 모두 만들었습니다.
(x-5)(-3x+2)
=x·(-3x)+x·2+(-5)·(-3x)+(-5)·2
=-3x²+2x+15x-10
=-3x²+17x-10
이번에는 부호가 섞여 있었지만, 먼저 항의 짝을 만들고 나서 계산했기 때문에 -5와 -3x의 곱을 양수로 처리할 수 있었습니다. 전개 과정에서 부호를 한꺼번에 암산하지 않고 각 곱 옆에 남긴 것도 첫 판단을 지키는 데 도움이 되었습니다.
힌트 없이 다시 확인한 답안
며칠 뒤에는 풀이 순서나 표시 방법을 알려 주지 않은 채, 다음 식을 제시했습니다.
(3a+1)(2-a)를 전개하고, 전개 전후에 a=2를 대입하여 결과를 비교하시오.
학생은 먼저 네 항을 스스로 찾아 적었습니다.
(3a+1)(2-a)
=3a·2+3a·(-a)+1·2+1·(-a)
=6a-3a²+2-a
=-3a²+5a+2
그 뒤 전개 전 식에 a=2를 대입했습니다.
(3×2+1)(2-2)=7×0=0
전개한 식에도 같은 값을 넣었습니다.
-3×2²+5×2+2=-12+10+2=0
학생은 두 결과가 같다는 사실만 말하지 않고, “전개 전에는 두 번째 괄호가 0이 되어 전체가 0이고, 전개 후에도 같은 값이 나왔으므로 네 항을 빠뜨리지 않고 전개한 것으로 확인된다”고 설명했습니다. 안락동중3수학과외에서 살핀 이번 장면은 전개식의 정답을 외우는 것보다, 계산을 시작하기 전 곱해질 항과 부호를 선별하는 판단이 먼저임을 보여 줍니다.