대전 중2수학과외
부등호 방향을 지키는 일차부등식 풀이
대전문정중학교가 포함된 생활권의 중2 수학 과외에서 학생은 일차부등식 문제를 풀 때 계산 자체보다 각 변에 같은 수를 처리하는 순서에서 자주 멈췄다. 대전과외 수업에서는 엑스포아파트가 있는 생활권과 신탄진도서관 인근 생활권에서 접할 수 있는 생활 상황을 문제의 배경으로만 활용하고, 풀이 과정은 식의 변화에 집중했다.
한 줄의 선택이 해의 방향을 바꾸다
학생은 다음 식을 공책에 옮겨 적었다.
3x－5＞7
먼저 양변에 5를 더해야 한다는 점은 알아차리고, 좌변과 우변 아래에 각각 ‘＋5’를 표시했다. 이어서 3x＞12를 얻은 뒤 양변을 3으로 나누어 x＞4라고 적었다. 여기까지는 식의 양변에 같은 수를 더하고 나누는 과정이 순서대로 이어졌다.
다음 문제에서는 상황이 달라졌다.
－2x＋6≤14
학생은 6을 양변에서 빼서 －2x≤8까지 계산했다. 그런데 예제 풀이의 모양을 따라 양변을 －2로 나누면서도 부등호를 그대로 두었다. 공책에는 x≤－4가 남았다. 학생은 수직선에 －4의 오른쪽을 칠하려다가, 식에 넣었을 때 결과가 맞지 않는다는 점을 발견하고 표시를 멈췄다.
음수로 나누는 순간만 다시 보기
오류의 시작은 계산 결과가 아니라 음수로 나눌 때 부등호를 유지한다고 선택한 것이었다. 이미 맞게 처리한 ‘양변에서 6을 빼기’는 그대로 두고, 마지막 한 줄만 다시 살폈다.
학생은 수직선에서 두 수의 위치를 비교했다. －2x≤8에서 x에 －5를 넣으면 좌변은 10이 되어 10≤8이 거짓이다. 반대로 x＝－3을 넣으면 좌변이 6이 되어 참이다. 따라서 해는 －4보다 작은 쪽이어야 하며, 음수로 나눌 때는 부등호 방향이 바뀌어야 한다.
교정한 식은 다음과 같았다.
－2x≤8
x≥－4
학생은 ‘음수를 곱하거나 나누는 줄에는 부등호 방향을 바꾼다’는 기준 하나만 식 옆에 세로줄로 표시했다. 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 과정에서는 방향을 바꾸지 않는다는 점도 같은 식에 나란히 적었다. 여러 규칙을 덧붙이지 않고, 방향이 바뀌는 연산만 눈에 띄게 남긴 것이다.
식이 아닌 수직선에서 거꾸로 읽기
대전중2수학과외 수업의 변형 문제에서는 식을 바로 주지 않고 수직선의 해를 문장으로 제시했다. 수직선에서 －3에 빈 원이 있고 왼쪽으로 화살표가 이어진 그림을 보고, 학생은 먼저 “x＜－3”이라고 말한 뒤 그 해를 만들 수 있는 부등식을 적었다.
－4x＞12
학생은 양변을 －4로 나누면 x＜－3이 된다고 설명했다. 질문도 바꾸었다. 이번에는 “x가 －3보다 작은 수일 때 원래 식이 참인지”를 확인하라는 조건이었다. 학생은 x＝－4를 넣어 16＞12를 확인하고, 경계값 x＝－3을 넣어 12＞12가 거짓임을 확인했다. 그래서 －3에 빈 원을 사용하는 이유까지 식으로 설명했다.
단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식에서 해를 찾던 순서를 뒤집어 수직선의 방향과 부등호를 연결하는 문제였다. 학생은 왼쪽 화살표는 ‘작다’, 빈 원은 ‘같지 않다’로 읽은 뒤, 음수로 나누는 과정에서 방향이 바뀌었다는 근거를 덧붙였다.
도움 없이 세운 첫 판단
한 주 뒤 새 문제를 제시했다.
－3(x－2)＞9
학생은 곧바로 괄호 안을 먼저 계산하려 하지 않고, “－3을 곱한 형태이므로 먼저 양변에 －3을 나누는 것이 아니라 식을 정리한 뒤 음수 연산에서 방향을 확인하겠다”고 말했다. 양변을 전개해 －3x＋6＞9, 양변에서 6을 빼 －3x＞3을 만들었다. 그리고 음수 －3으로 나누는 줄에 부등호를 두 번 표시하며 x＜－1을 얻었다.
검산에서는 해의 안쪽 값인 x＝－2와 경계값 x＝－1을 골랐다. x＝－2를 원래 식에 넣으면 －3(－4)＝12＞9로 참이고, x＝－1을 넣으면 －3(－3)＝9＞9가 아니므로 거짓이었다. 학생은 “음수로 나눌 때 방향이 바뀌고, 경계값은 포함되지 않으므로 수직선에서 －1의 왼쪽을 표시한다”고 스스로 설명했다.
이제 학생의 검산은 답을 확인하는 절차에 그치지 않았다. 처음 식의 부등호, 음수 연산이 있었던 줄, 경계값의 포함 여부를 차례로 확인하며 같은 판단을 혼자 재현했다.