대전중구 중3수학과외
대전중구 중3수학과외에서 살펴본 인수분해의 한 장면
대전중구과외 수업에서 학교 프린트의 인수분해 문제를 함께 확인했습니다. 버드내1단지아파트와 태평아파트가 있는 생활권, 한밭도서관 인근에서 접할 수 있는 학습 사례처럼 구성했지만, 특정 학교의 시험 경향을 전제로 하지는 않았습니다. 대전글꽃중학교가 포함된 생활권에서 중3수학을 공부하는 학생도 같은 유형을 만났을 때 적용할 수 있는 내용입니다.
식보다 먼저 확인했어야 할 두 조건
프린트에는 다음 식이 제시되어 있었습니다.
x² + 7x + 12를 인수분해하시오.
학생은 문제를 읽고 곧바로 3과 4를 떠올렸습니다. 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
12의 인수: 3, 4
작성한 답: (x+3)(x+4)
이 식은 실제로 맞는 답입니다. 하지만 바로 다음 문제인
x² - x - 12를 인수분해하시오.
에서 학생의 풀이가 흔들렸습니다. 학생은 12의 인수인 3과 4를 그대로 사용해 (x+3)(x-4)라고 적었습니다. 전개하면 x²-x-12가 되므로 이 답 역시 우연히 맞습니다. 그러나 다음 식에서는 문제가 드러났습니다.
x² + x - 20을 인수분해하시오.
학생은 “20은 4와 5니까”라고 판단한 뒤 (x+4)(x-5)를 썼습니다. 전개 결과는 x²-x-20이므로 가운데항의 부호가 달라 오답입니다.
가장 먼저 어긋난 순간
최종 계산에서 부호를 잘못 쓴 것이 첫 오류는 아니었습니다. 처음 어긋난 지점은 곱이 -20이라는 조건만 보고 4와 5를 선택한 것입니다. 두 수의 곱이 -20이면 부호가 서로 달라야 하고, 합은 문제의 가운데항인 +1이어야 합니다.
따라서 인수 후보를 찾을 때는 다음 두 조건을 함께 확인해야 합니다.
- 두 수의 곱: -20
- 두 수의 합: 1
4와 -5의 곱은 -20이지만 합은 -1입니다. 반대로 -4와 5의 곱은 -20이고 합은 1입니다. 그러므로 식은 다음과 같이 정리됩니다.
x² + x - 20 = (x-4)(x+5)
학생이 직접 전개한 기록은 다음과 같았습니다.
(x-4)(x+5) = x² + 5x - 4x - 20 = x² + x - 20
한 줄짜리 기준으로 바꾼 풀이
교정은 풀이 전체를 바꾸는 방식이 아니었습니다. 처음에 했던 ‘상수항의 인수 찾기’는 그대로 두고, 인수를 고르기 전에 합을 한 번 더 확인하는 행동만 추가했습니다.
곱을 만드는 두 수를 찾은 뒤, 그 두 수의 합이 가운데항과 같은지 확인한다.
이 기준을 공책 여백에 적은 후 같은 식을 다시 풀었습니다. -20의 인수쌍을 부호까지 나누어 살펴보면 4와 -5의 합은 -1, -4와 5의 합은 1입니다. 가운데항이 +x이므로 -4와 5를 선택합니다. 여기서 필요한 것은 새로운 공식이 아니라, 곱과 합을 동시에 맞추는 한 번의 확인이었습니다.
표현을 바꾼 독립 연습
다음에는 식의 모양을 바꾸어 제시했습니다.
□ 안에 들어갈 두 정수 p, q를 찾아
x² - 6x - 27 = (x+p)(x+q)
로 나타내시오.
이번에는 상수항이 -27이고 가운데항이 -6입니다. 학생은 p와 q의 곱이 -27, 합이 -6이어야 한다고 적었습니다. 3과 -9를 비교하면 곱은 -27이고 합은 -6입니다. 따라서
x² - 6x - 27 = (x+3)(x-9)
입니다. 이 문제에서는 처음부터 완성된 인수분해식을 고르는 대신 빈칸의 두 수를 찾았지만, 판단 기준은 같았습니다. 곱의 부호가 음수이므로 두 수의 부호가 서로 다르고, 합이 음수이므로 절댓값이 큰 수에 음의 부호가 붙는다는 점도 식에 직접 대입해 확인했습니다.
며칠 뒤, 기준을 스스로 꺼내다
며칠 뒤 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
2x² + 7x - 15를 인수분해하시오.
학생은 먼저 앞의 계수와 상수항을 곱해 -30을 만들고, 합이 7이 되는 두 수 10과 -3을 찾았습니다. 가운데항을 나누어
2x² + 10x - 3x - 15
로 쓴 뒤 묶어
2x(x+5) - 3(x+5) = (2x-3)(x+5)
라고 정리했습니다. 마지막에는 전개하여
(2x-3)(x+5) = 2x² + 10x - 3x - 15 = 2x² + 7x - 15
가 되는지 확인했습니다. 누가 “합도 보라”고 알려주지 않았지만, 학생은 곱과 합을 각각 적고 선택 이유를 설명했습니다. 대전중구중3수학과외에서 확인한 변화도 여기에 있습니다. 답을 외운 것이 아니라, 인수 선택 순간에 필요한 두 조건을 스스로 꺼내 원식과 다시 비교한 것입니다.