은행동 중2수학과외
은행동 중2수학과외에서 확인한 일차부등식의 경계값
은행동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 구한 뒤, 그 결과가 원래 조건을 정말 만족하는지 확인하는 과정에서 자주 멈췄다. 은행동 생활권에는 광덕아파트와 한밭도서관이 있는 곳도 있지만, 이번 수업의 중심은 장소가 아니라 식의 모양이 달라져도 같은 부등식 관계를 유지하는 판단이었다. 충남여자중학교가 포함된 생활권의 시험 대비 문제를 살펴보던 중, 학생은 다음 식을 풀었다.
3(2x-1) < 2x+9
학생은 먼저 괄호를 풀어 6x-3 < 2x+9라고 적었다. 양변에서 2x를 빼고, 양변에 3을 더해 4x < 12까지는 정확했다. 그런데 양변을 4로 나누는 줄에서 부등호 방향을 바꾸어 x > 3이라고 표시했다. 학생은 3을 경계값으로 보고 수직선 오른쪽을 색칠한 뒤, 4를 대입해도 성립한다고 적으려 했다.
결과보다 먼저 살핀 한 줄
계산 결과가 틀어지기 전에 확인해야 할 판단은 ‘부등호 방향을 언제 바꾸는가’였다. 학생은 양변을 양의 수 4로 나누면서도 음수를 곱하거나 나눈 경우처럼 방향을 바꾸었다. 따라서 문제는 괄호 계산이나 이항이 아니라, 양변에 적용한 수의 부호를 확인하지 않은 것에서 시작되었다.
이미 맞게 계산한 4x < 12는 그대로 두고, 양변을 나눈 수 4를 식 옆에 적게 했다. 4는 양수이므로 부등호가 유지되어 x < 3이 된다. 이어 학생이 얻은 경계값 3을 원래 식에 대입했다.
3(2×3-1) < 2×3+9
15 < 15
이 문장은 거짓이므로 x=3은 해에 포함되지 않는다. 학생은 수직선에 3을 빈 점으로 찍고 왼쪽을 표시했다. 이어 범위 안의 값 2를 넣어 3(4-1)=9, 4+9=13이므로 9<13, 범위 밖의 값 4를 넣어 21<17은 거짓임을 확인했다. 경계값과 양쪽의 대표값을 원식에 직접 넣으면서 해가 x<3이라는 결론을 설명했다.
식이 아닌 문장으로 바꾼 적용
같은 수를 반복해서 계산하지 않도록 표현을 바꾸었다. 이번에는 “어떤 수 x의 세 배에서 5를 뺀 값은 그 수의 두 배보다 크거나 같고, x는 4보다 작다”라는 문장을 식으로 옮기게 했다.
3x-5 ≥ 2x
학생은 문장의 ‘크거나 같고’를 놓치지 않고 ≥ 기호로 바꾸었다. 양변에서 2x를 빼 x-5 ≥ 0, 양변에 5를 더해 x ≥ 5를 얻었다. 그런데 문장 뒤의 ‘x는 4보다 작다’는 조건도 함께 살펴야 하므로 두 조건을 동시에 만족하는 수가 있는지 확인했다. x≥5와 x<4를 한 수직선에 나타내자 겹치는 부분이 없었다. 학생은 “첫 부등식의 경계값 5는 두 번째 조건 밖이고, 두 번째 조건의 모든 값은 5보다 작으므로 공통 해가 없다”고 설명했다.
힌트 없이 다시 세운 판단
수업 후 제시한 문제는 식의 배열을 바꾼 형태였다.
7-2x ≤ 3(x+1)
학생은 곧바로 양변에 있는 x항을 한쪽으로 모으기 전에, 괄호를 풀어 7-2x ≤ 3x+3이라고 적었다. 양변에서 3을 빼 4-2x ≤ 3x, 양변에 2x를 더해 4 ≤ 5x를 만들었다. 양변을 5로 나누는 것은 양수로 나누는 것이므로 방향을 유지해 x ≥ 4/5라고 했다.
학생은 “경계값 4/5를 원식에 넣으면 왼쪽과 오른쪽이 모두 27/5가 되어 등호가 성립하므로 경계값이 포함된다”고 검산했다. 또 x=1을 넣으면 5≤6으로 참이고, x=0을 넣으면 7≤3으로 거짓이라고 비교했다. 이번에는 표현이 달라져도 먼저 나누는 수의 부호와 등호 포함 여부를 스스로 확인한 뒤, 원래 부등식에 경계값을 대입해 해의 범위를 설명했다. 이러한 방식은 은행동중2수학과외에서 일차부등식의 답만 적는 대신, 해가 왜 그 범위에 놓이는지 확인하는 훈련으로 이어진다.