월평동 중2수학과외

월평동 중2수학과외에서 이어진 일차부등식 풀이

월평동과외 수업에서 학생은 괄호가 포함된 일차부등식을 식, 문장, 수직선으로 서로 바꾸어 해석하는 문제를 풀고 있었다. 월평도서관 인근 생활권과 대전월평중학교가 포함된 지역에서 자주 접하는 시험형 문제라는 설명보다, 한 줄의 부호를 어떻게 판단하는지가 수업의 중심이 되었다.

식의 모양이 바뀐 순간 드러난 한 줄

학생은 다음 문제를 보고 식을 먼저 정리했다.

3(2x-1)≤5x+7일 때 x의 범위를 구하고, 그 결과를 수직선으로 나타내어라.

학생은 왼쪽 괄호에 3을 곱해 6x-3≤5x+7이라고 적었다. 이어서 5x를 왼쪽으로 옮기고 -3을 오른쪽으로 보내며 x≤10을 얻었다. 여기까지는 각 항에 표시를 하며 진행했고, x=10을 원래 식에 넣어 양쪽이 57로 같다는 것도 확인했다.

문제의 표현이 바뀌어 “모든 항을 한쪽으로 모아 정리하라”는 문장이 나오자 학생의 풀이가 달라졌다.

5x+7≥3(2x-1)을 만족하는 x를 수직선에 나타내어라.

학생은 괄호를 풀어 5x+7≥6x-3까지 쓴 뒤, 5x를 오른쪽으로 옮긴 줄에 7≥x-3을 적었다. 그런데 다음 줄에서 -3을 없애려고 양변에 -3을 더해 4≥x라고 썼다. 부등호를 바꾸어야 하는 상황으로 착각한 것이 아니라, 이항할 때 항의 부호를 바꾸는 규칙과 양변에 같은 수를 더하는 과정을 한 줄에서 섞은 것이 최초의 어긋난 판단이었다.

이항과 음수로 나누기를 분리해 바로잡기

교정은 이미 맞았던 괄호 전개를 다시 하지 않고, 문제가 생긴 한 줄만 되짚는 방식으로 진행했다. 학생은 5x+7≥6x-3에서 5x를 오른쪽으로 옮길 때 7≥x-3이 되는 이유를 말로 확인했다. 이때는 항을 옮겼을 뿐 부등호 방향을 바꾸지 않는다.

그다음 양변에 3을 더해 10≥x로 만들었다. 따라서 해는 x≤10이다. 부등호 방향이 바뀌는 경우는 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때라고 따로 표시했다. 예를 들어 같은 식을 모두 왼쪽으로 모으면 다음과 같다.

5x+7≥6x-3
7+3≥6x-5x
10≥x

이 과정에서는 음수로 나누는 단계가 없으므로 부등호를 뒤집지 않는다. 학생은 수직선에 10에서 속이 찬 점을 찍고 왼쪽으로 선을 그었다. 끝점 10이 포함되는 까닭은 원래 부등호가 ≤ 또는 ≥ 형태이기 때문이라고 덧붙였다.

수직선에서 문장으로, 문장에서 식으로

같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. 이번에는 수직선에 -2에서 속이 빈 점을 찍고 오른쪽으로 화살표가 향한 그림을 제시했다. 학생은 이를 x>-2로 읽었다. 이어 다음 문장을 식으로 바꾸었다.

어떤 수의 두 배에서 4를 뺀 값은 그 수에 5를 더한 값보다 크다.

학생은 문장의 주어가 되는 수를 x로 두고 2x-4>x+5라고 적었다. 양변에서 x를 빼 x-4>5, 양변에 4를 더해 x>9를 얻었다. 수직선에는 9를 빈 점으로 표시하고 오른쪽을 칠했다. 이번에는 “크다”라는 말이 경계값을 포함하지 않는다는 점을 근거로 들었다.

표현 전환 문제도 이어졌다. “x가 -3 이상이고 4보다 작다”를 식으로 나타내라는 질문에 학생은 -3≤x<4라고 적은 뒤, 두 조건을 각각 수직선에 표시하고 겹치는 구간만 남겼다. 왼쪽 끝 -3은 찬 점, 오른쪽 끝 4는 빈 점으로 구분했다. 단순히 부등식 기호를 외운 것이 아니라 문장의 포함 여부를 끝점 표시와 대응시킨 장면이었다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

수업의 끝에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 풀게 했다.

2(4-x)>3x+5를 만족하는 x의 범위를 구하고, 해가 되는 수를 문장으로 설명하라.

학생은 먼저 괄호 안의 -x에 2를 곱해 8-2x>3x+5라고 적었다. x항을 오른쪽으로 모으면 3>5x가 되고, 양변을 5로 나누어 x<3/5라고 했다. 이때 “5는 양수라서 부등호를 그대로 둔다”고 스스로 설명했다. 이어 x=0을 대입하면 8>5가 참이고, x=1을 대입하면 6>8이 거짓이므로 3/5보다 작은 범위가 맞다고 검산했다.

마지막으로 학생은 “경계값 3/5는 넣으면 양쪽이 같아져서 엄격한 부등식을 만족하지 않는다”고 말하고, 수직선에 3/5를 빈 점으로 표시해 왼쪽을 가리켰다. 월평동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 계산량이 아니라, 괄호 전개 뒤 이항할 때와 음수로 나눌 때를 구분하고, 그 판단을 식·문장·수직선에서 스스로 다시 연결한 것이었다.