내동 고3수학과외

기울기 조건을 먼저 골라낸 도함수 풀이

문제는 fa(x)=x3-3ax2+2의 그래프 위 점 P(t, fa(t))에서의 접선 기울기가 -3이고, P가 극댓점이라는 조건으로 t와 a를 판단하는 내용이었다. 답의 형태가 먼저 제시되어 있어 학생은 값을 거꾸로 맞추려 했지만, 이번에는 계산보다 조건의 역할을 분리하기로 했다.

자연스러운 후보가 오히려 위험했던 순간

학생의 첫 식은 f′_a(x)=3x²-6ax였다. 여기서 f′_a(t)=-3을 대입해 a=(t²+1)/(2t)를 얻었다. 그런데 t의 범위를 확인하지 않은 채 양수인 값이면 모두 가능하다고 판단했다. 식이 매끄럽고 a도 자연스럽게 양수가 되었기 때문에 오류가 눈에 잘 띄지 않았다.

최초의 어긋남은 미분 계산이 아니었다. ‘P가 극댓점’이라는 제한을 계산 뒤로 미루면서, 접선 기울기 조건만 만족하는 후보까지 허용한 것이 문제였다. 도함수의 값이 -3이라는 사실은 해당 점에서 감소한다는 뜻일 뿐, 그 점이 부호변화가 일어나는 극댓점이라는 뜻은 아니다.

첫 줄 옆에 남긴 제한조건

학생은 전체 풀이를 다시 시작하지 않고, 빠진 조건 하나만 첫 줄 옆에 복원했다.

접선 기울기: f′(t)=-3
극댓점: f′의 부호가 +에서 -로 변함

더 간단히 판정하려고 이계도함수를 사용하면 f″_a(t)=6t-6a가 된다. 따라서 극댓점이 되려면 t-a<0, 즉 t<a여야 한다. 이미 얻은 a=(t²+1)/(2t)를 대입하면

t < (t²+1)/(2t)

이고, t>0인 조건에서 2t²<t²+1, 곧 t²<1을 얻는다. 그러므로 접선 조건만으로 남겼던 후보를 0<t<1로 줄여야 한다. 학생은 후보를 버린 이유를 ‘기울기 불충족’이 아니라 ‘극댓점 조건 불충족’이라고 옆에 적었다. 이 한 줄이 두 조건을 섞지 않게 했다.

표현을 바꾼 문제에서도 같은 판단을 꺼내다

며칠 뒤 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 조건의 위치와 함수식을 바꾼 독립 문제를 제시했다. g_a(x)=x³-3ax²+4x에서 x=t, t>0인 점의 접선이 수평이고 그 점이 극솟점인지 판정하는 문제였다. 학생은 이번에는 답을 예상하지 않고 먼저 ‘수평 접선’과 ‘극솟점’을 따로 표시했다.

g′_a(t)=0에서 3t²-6at+4=0을 세운 뒤, 극솟점 조건을 g″_a(t)=6t-6a>0으로 확인했다. 첫 식만으로 a를 정한 뒤 끝내지 않고, 두 번째 부등식으로 후보를 다시 걸렀다. 특히 t=2인 경계 시험값을 대입해 g″의 부호를 직접 확인하고, 부호가 바뀌지 않는 점은 극값으로 부를 수 없다고 설명했다.

힌트 없이 남은 습관

최종 확인에서는 매개변수와 조건 순서를 다시 바꾼 문제를 풀게 했다. 학생은 문제를 읽자마자 ‘먼저 도함수로 기울기 조건을 식으로 만들고, 그다음 극값의 부호 조건으로 후보를 제거한다’고 말했다. 계산 뒤에는 구한 a와 t를 원래의 도함수 조건에 재대입했고, 극댓점인지 묻는 경우에는 f′의 좌우 부호 또는 f″의 부호를 별도로 확인했다.

내동과외 학습 기록에도 이 판단을 짧게 남겼다. 도함수 문제에서 식을 빨리 만드는 것보다 먼저 해야 할 일은 어떤 조건이 후보를 제한하는지 표시하는 것이다.