가수원동 중2수학과외

가수원동 중2수학과외에서 확인한 부등호 방향의 기준

가수원동과외 수업에서 학생은 부등식 문제를 풀며 계산 과정 자체보다 음수로 나누는 순간 부등호 방향을 바꾸는지를 놓치고 있었다. 가수원중학교가 포함된 생활권과 가수원도서관 인근 생활권에서 자주 접하는 시험형 문제를 살펴보던 중, 학생의 풀이 한 줄에서 판단이 어긋난 지점을 역추적했다.

계산보다 먼저 세워야 할 판단

문제는 다음과 같았다.

−3x＋5＞14일 때 x의 범위를 구하여라.

학생은 먼저 양변에서 5를 빼어 −3x＞9까지 정확하게 정리했다. 식의 왼쪽에 있는 −3을 보고 x만 남기려는 생각도 분명했다. 그러나 다음 줄에 학생은 ‘−3으로 나누기’라고 적은 뒤 부등호를 그대로 유지하여 x＞−3이라고 썼다. 이후 수직선에 −3보다 오른쪽을 색칠하고, 그 값을 원래 식에 대입해 보려 했지만 계산 결과가 맞지 않아 검산을 멈췄다.

풀이가 틀어진 최초의 판단은 나눗셈 계산이 아니었다. 나누는 수 −3이 음수라는 사실을 확인하고도 부등호 방향을 바꾸지 않기로 한 것이 첫 어긋남이었다. 식을 정리하는 순서와 9÷(−3)=−3이라는 계산은 맞았지만, 음수로 양변을 나눌 때 두 수의 대소 관계가 반대로 된다는 조건을 빠뜨린 것이다.

한 줄에만 교정 표시하기

이미 맞았던 −3x＞9까지의 과정은 그대로 두고, 학생이 실제로 바꾼 것은 한 가지 행동이었다. 양변을 음수로 나누는 줄에 나누는 수를 동그라미 치고, 그 바로 위에 부등호 방향 전환 표시를 적었다.

−3x＞9
양변을 −3으로 나누면 부등호 방향 전환
x＜−3

교사는 ‘무조건 외우기’ 대신, −3x에 −3을 곱해 두 수의 관계를 확인하게 했다. 예를 들어 −3×(−4)=12이고 −3×(−2)=6이므로 −4＜−2였던 관계가 12＞6으로 바뀐다. 학생은 이 장면을 식 옆에 짧게 적은 뒤, 음수를 곱하거나 나누는 줄에서만 부등호에 방향 표시를 남겼다. 양수로 정리하는 줄에는 불필요한 표시를 하지 않았다.

완성한 해는 수직선에도 옮겼다. −3에서 작은 원을 그리고 왼쪽을 색칠했다. 학생은 색칠한 구간에서 −4를 골라 원래 식에 대입했다.

−3×(−4)＋5＝17, 17＞14이므로 x＜−3의 해에 포함된다.

식이 아닌 수직선에서 다시 판단하기

같은 개념을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고, 표현을 수직선에서 문장과 부등식으로 바꾸었다.

수직선에서 −2에는 빈 원이 있고 왼쪽 부분이 표시되어 있다. 이를 부등식으로 나타내고, 왜 그런 방향인지 설명하여라.

학생은 그림을 보고 먼저 x＜−2라고 적었다. 이어 “−2보다 작은 수를 나타내므로 −2는 포함하지 않고 왼쪽을 선택한다”고 설명했다. 교사는 이번에는 결과를 주지 않고, 다음 식의 해를 수직선으로 표현하게 했다.

4−2x≤10

학생은 4를 양변에서 빼어 −2x≤6으로 만든 뒤, −2로 나누는 줄에 부등호 방향을 바꾸는 표시를 했다. 따라서 x≥−3이라고 정리하고, 수직선에서 −3에 색칠한 점을 찍은 뒤 오른쪽을 표시했다. 앞의 문제와 달리 이번에는 ‘작거나 같다’가 음수 나눗셈 뒤 ‘크거나 같다’로 바뀐 이유까지 말로 연결했다.

도움 없이 기준을 재현한 검증

수업 후반에는 힌트 없이 새 상황을 제시했다.

−5x−1＜19의 해를 구하고, 해에 포함되는 수와 포함되지 않는 수를 각각 하나씩 골라 검산하여라.

학생은 첫 줄을 읽자마자 −5x를 x로 만들려면 음수 −5로 나누어야 한다고 표시했다. 양변에 1을 더해 −5x＜20으로 정리한 뒤, 음수로 나누는 줄에서 부등호를 반대로 바꾸어 x＞−4를 얻었다. 수직선에는 −4에 빈 원을 그리고 오른쪽을 색칠했다.

학생은 포함되는 수로 0을, 포함되지 않는 수로 −5를 골랐다.

0을 대입하면 −5×0−1＝−1이고 −1＜19이므로 해에 포함된다.
−5를 대입하면 25−1＝24이고 24＜19는 거짓이므로 해에 포함되지 않는다.

마지막으로 학생은 “계수를 없애려고 음수로 나눌 때만 부등호 방향을 바꾸고, 수직선의 방향과 원래 식 대입 결과가 같은지 확인했다”고 스스로 설명했다. 가수원동중2수학과외에서 확인한 변화는 정답 암기가 아니라, 계산을 시작하기 전 나누는 수의 부호를 먼저 고르는 판단을 새 문제에서도 재현한 데 있었다.