가수원동 중2수학과외

가수원동 중2수학과외에서 확인한 부등호 방향의 기준

가수원동과외 수업에서 학생은 부등식 문제를 풀며 계산 과정 자체보다 음수로 나누는 순간 부등호 방향을 바꾸는지를 놓치고 있었다.

계산보다 먼저 세워야 할 판단

문제는 다음과 같았다.

−3x＋5＞14일 때 x의 범위를 구하여라.

학생은 먼저 양변에서 5를 빼어 −3x＞9까지 정확하게 정리했다. 식의 왼쪽에 있는 −3을 보고 x만 남기려는 생각도 분명했다. 그러나 다음 줄에 학생은 ‘−3으로 나누기’라고 적은 뒤 부등호를 그대로 유지하여 x＞−3이라고 썼다. 이후 수직선에 −3보다 오른쪽을 색칠하고, 그 값을 원래 식에 대입해 보려 했지만 계산 결과가 맞지 않아 검산을 멈췄다.

풀이가 틀어진 최초의 판단은 나눗셈 계산이 아니었다. 나누는 수 −3이 음수라는 사실을 확인하고도 부등호 방향을 바꾸지 않기로 한 것이 첫 어긋남이었다. 식을 정리하는 순서와 9÷(−3)=−3이라는 계산은 맞았지만, 음수로 양변을 나눌 때 두 수의 대소 관계가 반대로 된다는 조건을 빠뜨린 것이다.

한 줄에만 교정 표시하기

이미 맞았던 −3x＞9까지의 과정은 그대로 두고, 학생이 실제로 바꾼 것은 한 가지 행동이었다. 양변을 음수로 나누는 줄에 나누는 수를 동그라미 치고, 그 바로 위에 부등호 방향 전환 표시를 적었다.

−3x＞9
양변을 −3으로 나누면 부등호 방향 전환
x＜−3

교사는 ‘무조건 외우기’ 대신, −3x에 −3을 곱해 두 수의 관계를 확인하게 했다. 예를 들어 −3×(−4)=12이고 −3×(−2)=6이므로 −4＜−2였던 관계가 12＞6으로 바뀐다. 학생은 이 장면을 식 옆에 짧게 적은 뒤, 음수를 곱하거나 나누는 줄에서만 부등호에 방향 표시를 남겼다. 양수로 정리하는 줄에는 불필요한 표시를 하지 않았다.

완성한 해는 수직선에도 옮겼다. −3에서 작은 원을 그리고 왼쪽을 색칠했다. 학생은 색칠한 구간에서 −4를 골라 원래 식에 대입했다.

−3×(−4)＋5＝17, 17＞14이므로 x＜−3의 해에 포함된다.

식이 아닌 수직선에서 다시 판단하기

같은 개념을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고, 표현을 수직선에서 문장과 부등식으로 바꾸었다.

수직선에서 −2에는 빈 원이 있고 왼쪽 부분이 표시되어 있다. 이를 부등식으로 나타내고, 왜 그런 방향인지 설명하여라.

학생은 그림을 보고 먼저 x＜−2라고 적었다. 이어 “−2보다 작은 수를 나타내므로 −2는 포함하지 않고 왼쪽을 선택한다”고 설명했다. 교사는 이번에는 결과를 주지 않고, 다음 식의 해를 수직선으로 표현하게 했다.

4−2x≤10

학생은 4를 양변에서 빼어 −2x≤6으로 만든 뒤, −2로 나누는 줄에 부등호 방향을 바꾸는 표시를 했다. 따라서 x≥−3이라고 정리하고, 수직선에서 −3에 색칠한 점을 찍은 뒤 오른쪽을 표시했다. 앞의 문제와 달리 이번에는 ‘작거나 같다’가 음수 나눗셈 뒤 ‘크거나 같다’로 바뀐 이유까지 말로 연결했다.

도움 없이 기준을 재현한 검증

수업 후반에는 힌트 없이 새 상황을 제시했다.

−5x−1＜19의 해를 구하고, 해에 포함되는 수와 포함되지 않는 수를 각각 하나씩 골라 검산하여라.

학생은 첫 줄을 읽자마자 −5x를 x로 만들려면 음수 −5로 나누어야 한다고 표시했다. 양변에 1을 더해 −5x＜20으로 정리한 뒤, 음수로 나누는 줄에서 부등호를 반대로 바꾸어 x＞−4를 얻었다. 수직선에는 −4에 빈 원을 그리고 오른쪽을 색칠했다.

학생은 포함되는 수로 0을, 포함되지 않는 수로 −5를 골랐다.

• 0을 대입하면 −5×0−1＝−1이고 −1＜19이므로 해에 포함된다.
• −5를 대입하면 25−1＝24이고 24＜19는 거짓이므로 해에 포함되지 않는다.

마지막으로 학생은 “계수를 없애려고 음수로 나눌 때만 부등호 방향을 바꾸고, 수직선의 방향과 원래 식 대입 결과가 같은지 확인했다”고 스스로 설명했다. 가수원동중2수학과외에서 확인한 변화는 정답 암기가 아니라, 계산을 시작하기 전 나누는 수의 부호를 먼저 고르는 판단을 새 문제에서도 재현한 데 있었다.