수창동 중3수학과외

수창동 중3수학과외, 제곱식 전개에서 먼저 볼 것

수창동과외 수업에서 한 학생의 풀이를 확인하던 날, 계산 결과보다 먼저 눈에 들어온 것은 첫 줄에 남은 짧은 메모였습니다. 문제는 (3x+2)²을 전개하시오였고, 학생은 다음과 같이 적었습니다.

(3x+2)² = 9x²+4

계수 3을 제곱한 9와 2를 제곱한 4는 맞았지만, 가운데 항이 빠져 있었습니다. 이 문제를 다룬 곳은 대구역센트럴자이아파트가 있는 생활권과 꿈꾸는도서관 인근 생활권을 참고한 수창동중3수학과외 학습 사례입니다. 성명여자중학교, 계성중학교 등이 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형이지만, 학교별 난도나 출제경향을 전제로 하지는 않고 식의 구조만 살폈습니다.

계산보다 앞서 멈춘 지점

채점 직후 학생에게 풀이 과정을 다시 말해 보게 했습니다. 학생은 괄호 안의 두 항에 표시하지 않고, “첫 항의 제곱과 둘째 항의 제곱을 계산했다”고 설명했습니다. 실제 기록에도

(3x)²=9x², 2²=4 → 9x²+4

라고 되어 있었습니다. 이때 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 실수가 아니었습니다. 제곱된 식을 두 항의 제곱만 계산하는 식으로 판단한 것이 먼저였습니다. 두 항을 서로 곱하는 부분이 필요한지 확인하지 않은 채 계산을 시작했기 때문에 가운데 항이 처음부터 풀이에서 빠졌습니다.

식에 표시를 남기며 구조를 복원하다

교정은 한 가지 행동만 바꾸었습니다. 계산 전에 괄호 안의 항을 둘로 나누어 표시하고, 각 항이 한 번씩 서로 곱해지는지 적게 했습니다.

(3x+2)²=(3x+2)(3x+2)
= (3x)(3x)+(3x)(2)+2(3x)+2·2
=9x²+6x+6x+4
=9x²+12x+4

학생은 첫 풀이에서 맞았던 9x²과 4 계산은 그대로 유지했습니다. 달라진 것은 항을 빠뜨리지 않도록 두 괄호의 항을 모두 짝지어 적은 점뿐입니다. “가운데 항이 두 번 생기는 이유는 3x와 2를 서로 다른 방향으로 곱하기 때문”이라고 풀이 옆에 한 줄을 남기자, 공식을 외워 부호와 계수를 놓치는 대신 전개 구조를 직접 확인할 수 있었습니다.

모양을 바꾼 식에서 다시 선택하기

다음에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 항의 순서와 부호를 바꾸어 제시했습니다.

(5-2a)²을 전개하시오.

이번에는 학생이 바로 계산하지 않고, 먼저 “첫 항은 5, 둘째 항은 -2a”라고 표시했습니다. 이어서

(5-2a)(5-2a) =5·5+5·(-2a)+(-2a)·5+(-2a)·(-2a) =25-10a-10a+4a² =4a²-20a+25

라고 썼습니다. 앞선 문제와 항의 위치, 부호, 정리된 식의 순서가 달라졌지만, 두 항을 빠짐없이 서로 곱한다는 같은 기준을 선택했습니다. 특히 가운데 항을 음수로 처리한 것은 괄호 안의 둘째 항을 먼저 확인했기 때문에 가능했습니다.

힌트가 없을 때의 마지막 확인

며칠 뒤에는 다음 식만 제시하고 풀이 방법을 알려 주지 않았습니다.

(2m-7)²의 전개식이 4m²-28m+49인지 확인하시오.

학생은 먼저 두 항을 “2m, -7”로 표시한 뒤, 직접 전개했습니다.

(2m-7)(2m-7)=4m²-14m-14m+49=4m²-28m+49

그다음 임의로 m=3을 대입했습니다. 원래 식은 (6-7)²=1이고, 전개식은 4·9-28·3+49=36-84+49=1이므로 두 값이 같다고 설명했습니다. “항을 둘로만 나누어 제곱하지 않고, 두 항의 모든 곱을 적었으며 대입한 값도 일치한다”고 근거까지 말했습니다. 힌트 없이도 계산 전 항과 부호를 먼저 확인하고, 전개 뒤 같은 값을 비교하는 흐름을 스스로 재현한 장면이었습니다.