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수창동 고2수학과외

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같은 평균인데 왜 퍼짐이 다를까

수창동에서 대구과외를 진행하며 자주 확인하는 오류는 평균과의 편차를 그대로 더해 분산으로 착각하는 경우입니다. 편차의 합은 평균을 기준으로 양수와 음수가 상쇄되므로 항상 0이 됩니다.

학생 풀이 기록에서 발견한 오류

자료가 2, 4, 6일 때 평균은 4입니다.

각 편차는 −2, 0, 2이고, 편차의 합은

(−2)+0+2=0

따라서 이 값을 분산이라고 하면 자료가 평균에서 얼마나 퍼져 있는지 전혀 나타낼 수 없습니다.

제곱이 필요한 이유

편차를 제곱하면 음수와 양수가 모두 양수가 됩니다.

분산은 다음과 같이 계산합니다.

분산 = 편차 제곱의 평균

자료 2, 4, 6의 경우

((−2)2+02+22)÷3 = 8÷3

제곱은 부호를 없애면서 평균에서 멀리 떨어진 값에 더 큰 영향을 줍니다. 따라서 단순히 편차를 더하는 것보다 자료의 퍼짐을 정확하게 측정할 수 있습니다.

확률이 있는 분포의 비교

한 식에서 출발한 비교

두 분포 A와 B가 다음과 같이 주어졌다고 하겠습니다.

분포가능한 값확률평균
A3, 5각각 1/24
B1, 7각각 1/24

두 분포의 평균은 모두 4이지만 평균에서의 거리는 다릅니다.

A의 분산은

(3−4)2×1/2 +(5−4)2×1/2 = 1

B의 분산은

(1−4)2×1/2 +(7−4)2×1/2 = 9

따라서 평균은 같아도 B가 A보다 더 크게 퍼져 있으며, 분산도 B가 큽니다.

새 문항에 적용한 판단

평균이 같은 두 분포에서 계산 없이 더 큰 분산을 고르려면 평균에서 더 멀리 떨어진 값이 많은 분포를 선택하면 됩니다. 단, 각 값의 확률이 다르면 거리만 비교하지 말고 편차 제곱에 확률을 곱해 비교해야 합니다.

최종 확인

  • 편차의 합은 평균을 기준으로 상쇄되어 0이 됩니다.
  • 분산은 편차 제곱에 확률을 곱해 더한 값입니다.
  • 평균이 같다면 분산이 클수록 자료의 퍼짐이 큽니다.
  • 표준편차는 분산의 양의 제곱근입니다.

수창동 고2수학과외 학부모 후기

학교 자습 시간에 문제를 풀다가 필요한 부분만 골라 따로 표시해 둔 걸 보게 됐어요. 자료 전체에 이것저것 흔적을 남긴 게 아니라, 검산이 필요해 보이는 문제만 추려 놓았더라고요. 어떤 기준으로 남겼는지 궁금해서 문제를 살펴보니 답을 구한 뒤 다시 확인할 곳을 구분해 둔 모습이었습니다. 집에서 수학 숙제를 끝냈을 때도 비슷한 장면이 있더라고요. 제가 먼저 묻기도 전인데 답은 맞았지만 검산을 하지 않은 문제만 한쪽으로 접어 두고 있었습니다. 예예전에는 물어볼 내용이 생겨도 그냥 지나가거나, 나중에 생각나면 말하는 편이었거든요. 수창동 수학과외 이야기를 나누며 알게 된 최근 모습 중 가장 눈에 들어온 건 정답 여부와 별개로 다시 볼 문제를 스스로 가려내고 있다는 점이었어요.

★★★★★학부모 후기

학교 보충수업을 다녀온 날이라 잠깐 방에 들렀는데, 아이가 문제를 바로 치우지 않고 마지막 계산 결과를 한 번 더 들여다보고 있더라고요. 처음 계산한 과정과는 다른 방식으로 끝부분을 확인한 뒤에야 문제를 덮는 모습이었어요. 예예전에는 복습할 때 어디부터 볼지 스스로 정하기보다 그날 했던 내용을 처음부터 다시 훑는 편이었거든요. 수창동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 장면이 가장 눈에 띄었어요. 단순히 답을 다시 보는 게 아니라 다른 방법으로 결과를 맞춰 보고 있어서 왜 그러는지 잠시 지켜봤습니다. 다음 주말에 단어장을 펼쳤을 때도 마지막으로 확인했던 지점이 바로 보이게 정리해 두었더라고요. 수학 문제에서 처음과 다른 방법으로 끝을 확인하던 행동이, 이번에는 다시 본 곳을 찾기 쉽게 남겨 둔 모습으로 이어졌어요.

★★★★★학부모 후기

학교에서 돌아오면 가방부터 내려놓고 수학 숙제는 한참 미루던 제가, 요즘은 수업에서 헷갈렸던 부분을 질문으로 적어 둡니다. 수창동에서 수업을 시작한 뒤 선생님은 제 반응을 보며 같은 내용도 쉽게 다시 설명하고, 무리하게 진도를 나가지 않아 시험 직전 주말에도 숙제를 먼저 시작하게 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기

어려운 단원을 앞두고도 예전처럼 수학 숙제를 맨 마지막에 미루지는 않게 됐습니다. 수창동 수업에서 문제 수를 줄인 날에는 막힌 부분을 표시해 질문을 준비했고, 선생님은 같은 실수가 나오면 문제를 더 내기보다 이유부터 함께 정리해 주셨습니다. 복습을 하루 미뤄도 다음 날 다시 이어가는 모습이 보여 부모로서 안심됐습니다.

★★★★★학부모 후기

수창동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 어려운 문제를 붙잡고 오래 고민해도 선생님은 답을 바로 알려주지 않고 생각을 정리할 기준을 차분히 짚어 주셨습니다. 교재 난도가 높아지고 생활 일정과 공부 계획이 부딪힐 때도 할 일을 무리 없이 나눠 주셔서, 시험 결과보다 설명을 듣고 다시 시도한 과정을 돌아보는 태도가 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기