수창동 고2수학과외







같은 평균인데 왜 퍼짐이 다를까
수창동에서 대구과외를 진행하며 자주 확인하는 오류는 평균과의 편차를 그대로 더해 분산으로 착각하는 경우입니다. 편차의 합은 평균을 기준으로 양수와 음수가 상쇄되므로 항상 0이 됩니다.
학생 풀이 기록에서 발견한 오류
자료가 2, 4, 6일 때 평균은 4입니다.
각 편차는 −2, 0, 2이고, 편차의 합은
(−2)+0+2=0
따라서 이 값을 분산이라고 하면 자료가 평균에서 얼마나 퍼져 있는지 전혀 나타낼 수 없습니다.
제곱이 필요한 이유
편차를 제곱하면 음수와 양수가 모두 양수가 됩니다.
분산은 다음과 같이 계산합니다.
분산 = 편차 제곱의 평균
자료 2, 4, 6의 경우
((−2)2+02+22)÷3 = 8÷3
제곱은 부호를 없애면서 평균에서 멀리 떨어진 값에 더 큰 영향을 줍니다. 따라서 단순히 편차를 더하는 것보다 자료의 퍼짐을 정확하게 측정할 수 있습니다.
확률이 있는 분포의 비교
한 식에서 출발한 비교
두 분포 A와 B가 다음과 같이 주어졌다고 하겠습니다.
| 분포 | 가능한 값 | 확률 | 평균 |
|---|---|---|---|
| A | 3, 5 | 각각 1/2 | 4 |
| B | 1, 7 | 각각 1/2 | 4 |
두 분포의 평균은 모두 4이지만 평균에서의 거리는 다릅니다.
A의 분산은
(3−4)2×1/2 +(5−4)2×1/2 = 1
B의 분산은
(1−4)2×1/2 +(7−4)2×1/2 = 9
따라서 평균은 같아도 B가 A보다 더 크게 퍼져 있으며, 분산도 B가 큽니다.
새 문항에 적용한 판단
평균이 같은 두 분포에서 계산 없이 더 큰 분산을 고르려면 평균에서 더 멀리 떨어진 값이 많은 분포를 선택하면 됩니다. 단, 각 값의 확률이 다르면 거리만 비교하지 말고 편차 제곱에 확률을 곱해 비교해야 합니다.
최종 확인
- 편차의 합은 평균을 기준으로 상쇄되어 0이 됩니다.
- 분산은 편차 제곱에 확률을 곱해 더한 값입니다.
- 평균이 같다면 분산이 클수록 자료의 퍼짐이 큽니다.
- 표준편차는 분산의 양의 제곱근입니다.