동성로 중3수학과외

동성로 중3수학과외, 전개식에서 빠진 한 항을 찾은 기록

동성로과외 수업에서 주말 복습 풀이를 함께 확인했다. 남산자이하늘채와 꿈꾸는도서관이 있는 생활권에서 중학교 수학을 공부하는 학생이라면 익숙하게 만날 수 있는 다항식 계산이지만, 이번에는 답을 고치는 것보다 전개 과정에서 모든 항이 연결되었는지를 확인하는 데 초점을 맞췄다. 계성중학교가 포함된 생활권의 학습 사례로, 다른 단원으로 넓히지 않고 다항식과 다항식의 곱셈만 살폈다.

완성된 풀이를 뒤에서 읽으며 시작한 점검

문제는 다음과 같았다.

(2x-3)(x²+4x-5)를 전개하여 간단히 하시오.

학생의 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.

(2x-3)(x²+4x-5)
= 2x³+8x²-10x-3x²-12x+15
= 2x³+5x²-22x+15

이 계산은 정답이었다. 그러나 학생은 완성된 줄을 보고 “처음부터 각 항을 모두 곱했는지 자신이 없다”고 말했다. 그래서 풀이를 다시 쓰게 하기보다, 마지막 식에서 한 줄씩 거꾸로 확인했다. 첫째 인수의 2x는 둘째 인수의 세 항과 각각 곱해져 2x³, 8x², -10x을 만들었다. -3 역시 세 항과 곱해져 -3x², -12x, 15가 되었다.

주목할 부분은 학생이 처음 공책에 쓸 때 실제로 한 행동이었다. 2x를 x²와 4x에 곱한 뒤 -5와의 곱을 표시하지 않고 다음 줄로 넘어갔고, 나중에 답지를 읽으며 -10x를 끼워 넣었다. 이 과정에서 가장 먼저 어긋날 수 있었던 판단은 계산 결과가 아니라 첫째 인수의 한 항을 둘째 인수의 모든 항과 연결해야 한다는 확인을 생략한 것이었다.

틀어진 지점만 다시 표시하기

따라서 전체 풀이를 새로 외우게 하지 않고, 곱해지는 짝만 줄을 나누어 적도록 했다.

• 2x·x²=2x³
• 2x·4x=8x²
• 2x·(-5)=-10x
• (-3)·x²=-3x²
• (-3)·4x=-12x
• (-3)·(-5)=15

그 다음에야 같은 차수의 항을 묶었다.

2x³+(8x²-3x²)+(-10x-12x)+15
=2x³+5x²-22x+15

교정은 이 한 가지였다. 전개 직전에 항별 곱을 빠짐없이 적고, 그 뒤에만 정리하기다. 이미 맞았던 부호 계산과 동류항 정리는 그대로 두고, 빠뜨릴 수 있는 곱의 짝만 눈에 보이게 바꾸었다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음에는 괄호의 모양과 항의 순서를 바꾼 문제를 제시했다.

(x-4)(3x²-2x+6)을 전개한 식에서 x²항의 계수와 상수항을 쓰시오.

이번에는 중간 풀이를 가린 상태에서 학생이 먼저 표처럼 곱의 짝을 만들었다.

• x와 3x², -2x, 6
• -4와 3x², -2x, 6

각 곱은 3x³, -2x², 6x, -12x², 8x, -24가 된다. 따라서 전체 전개식은

3x³-14x²+14x-24

이고, x²항의 계수는 -14, 상수항은 -24라고 답했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 이번에는 전체식을 요구하지 않고 특정 항을 찾아야 했지만 각 항을 빠짐없이 곱하는 기준은 같았다.

힌트 없이 확인한 마지막 장면

며칠 뒤에는 다음 문제를 아무 표시 없이 풀게 했다.

(-2x+5)(x²-3x-1)을 전개하고, x=-1을 대입했을 때 전개 전 식과 전개 후 식의 값이 같은지 확인하시오.

학생은 먼저 -2x가 세 항, 5가 세 항과 각각 곱해져야 한다고 스스로 말한 뒤 계산했다.

-2x·x²=-2x³, (-2x)(-3x)=6x², (-2x)(-1)=2x
5·x²=5x², 5·(-3x)=-15x, 5·(-1)=-5

따라서 전개식은 -2x³+11x²-13x-5이다. x=-1을 넣으면 원래 식은 (2+5)(1+3-1)=7×3=21이고, 전개식은 2+11+13-5=21이다. 학생은 “곱셈 전에는 두 괄호의 값으로, 곱셈 후에는 정리된 식으로 계산했는데 값이 같으므로 항을 빠뜨리지 않았다고 볼 수 있다”고 설명했다. 동성로중3수학과외에서 확인할 기준도 바로 이처럼, 모든 항의 연결을 스스로 만들고 전개 전후를 대조하는 데 두었다.