율암동 중3수학과외
율암동 중3수학과외, 근호식에서 괄호를 끝까지 읽는 연습
율암동과외 수업에서 대구파라곤프레스티지와 대구안심뉴타운시티프라디움이 있는 생활권의 중3 수학 풀이를 살펴보았습니다. 강동중학교, 새론중학교 등이 포함된 생활권에서 자주 만나는 계산 문제였지만, 이번 초점은 근호의 종류나 근삿값이 아니라 괄호 앞의 수를 괄호 안 모든 항에 분배하는지에만 두었습니다. 율암동중3수학과외에서도 이처럼 한 장면의 판단을 좁혀 확인하면 풀이가 어디에서 달라졌는지 분명해집니다.
답안에 남은 한 줄에서 시작하다
문제는 다음과 같았습니다.
계산하여라. 3(√2+2√5)
학생은 서술형 답안에 다음과 같이 적었습니다.
3(√2+2√5)=3√2+2√5
그리고 “괄호 앞의 3을 근호항에 곱했다”고 설명했습니다. 결과만 보면 √2가 들어간 항은 처리했으므로 계산 과정의 일부는 맞았습니다. 하지만 이 식에서 가장 먼저 확인해야 할 대상은 계산 결과가 아니라 괄호 안에 항이 몇 개 있는지였습니다. 괄호 안에는 √2와 2√5, 두 항이 있습니다.
틀어진 순간은 첫 번째 곱셈이 아니었다
학생은 앞에서부터 읽다가 3√2를 만든 뒤, 두 번째 항의 계수 2만 남겨 두었습니다. 즉, 예제에서 보았던 “괄호 밖 수를 첫 항에 곱하는” 순서를 기억한 채 멈춘 것입니다. 이때의 최초 판단 오류는 3×√2 계산이 아닙니다. 괄호 안 한 항만 확인하고 모든 항을 대상으로 삼지 않은 것이 먼저 어긋났습니다.
따라서 정답은 다음과 같이 전개되어야 합니다.
3(√2+2√5)=3×√2+3×2√5=3√2+6√5
여기서 새 계산법을 추가할 필요는 없습니다. 같은 3이 괄호 안의 첫 항과 둘째 항에 각각 연결되었는지만 확인하면 됩니다.
교정 문장을 하나로 줄여 쓰기
학생의 풀이를 전부 지우지 않고, 잘못된 판단 하나만 바꾸도록 했습니다. 식을 보기 전에 다음 기준을 먼저 적었습니다.
괄호 안의 모든 항에 괄호 밖 인수를 각각 연결한다.
그 뒤 같은 문제를 다시 써 보았습니다.
- 괄호 안 첫째 항: 3×√2
- 괄호 안 둘째 항: 3×2√5
- 전개 결과: 3√2+6√5
이미 맞았던 첫 항의 계산은 그대로 두고, 빠졌던 둘째 항에만 3을 연결했습니다. 핵심은 “근호가 있는 항에만 곱한다”가 아니라, 괄호 안에 있는 각 항을 빠짐없이 찾아 같은 인수를 곱한다는 기준입니다.
모양을 바꾼 문제에서 다시 선택하기
며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식 대신 표현의 방향을 바꾸어 제시했습니다.
다음 전개가 옳도록 빈칸을 채워라.
−2(3√7−√11)=−6√7+□
이번에는 괄호 앞에 음수가 있고, 첫 항에 이미 3이 붙어 있으며, 결과의 둘째 항을 구해야 합니다. 학생은 먼저 “괄호 안의 항은 3√7과 −√11, 두 개”라고 표시했습니다. 이어서
−2×3√7=−6√7
까지 적은 뒤, 멈추지 않고 둘째 항도
−2×(−√11)=+2√11
로 연결했습니다. 따라서 빈칸에는 2√11이 들어갑니다. 부호가 바뀐 이유도 새로운 규칙을 끌어온 것이 아니라, 괄호 안 둘째 항 전체인 −√11에 −2를 곱했기 때문이라고 설명했습니다.
힌트 없이 식의 앞뒤를 대조한 마지막 기록
마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.
전개하여라. 4(√3−2√6+√10)
학생은 먼저 괄호 안 항을 세 개로 나누어 표시했습니다.
4×√3=4√3
4×(−2√6)=−8√6
4×√10=4√10
그래서 답을 4√3−8√6+4√10으로 정리했습니다. 이어 전개 전 식과 전개 후 식이 같은지 확인하기 위해 √3≈1.7, √6≈2.4, √10≈3.2를 대입했습니다. 원래 식은 약 4(1.7−4.8+3.2)=0.4이고, 전개 후 식도 약 6.8−19.2+12.8=0.4로 같았습니다.
이번 검산에서 중요한 것은 근호의 값을 정확히 구하는 일이 아니었습니다. 괄호 밖의 4가 세 항 모두에 빠짐없이 곱해졌는지, 전개 전후의 값이 일치하는지를 스스로 확인한 점입니다.