안심 중3수학과외

안심 생활권에서 살펴본 (a+b)² 전개의 한 장면

이번 시간의 초점은 넓게 다항식을 다루는 것이 아니라 (a+b)²을 전개할 때 네 항의 곱을 빠짐없이 확인하는 구조 하나였습니다. 안심과외에서도 이 부분은 계산 속도보다 첫 식을 어떻게 세우는지가 중요합니다.

답보다 먼저 보인 잘못된 식

문제는 다음과 같았습니다.

(x+4)²을 전개하여 간단히 하시오.

학생은 유형 이름을 쓰지 않고 곧바로 괄호를 두 번 적었습니다.

(x+4)²=(x+4)(x+4)
=x²+4x+16

계산 결과만 보면 가운데 항 하나가 빠져 있습니다. 하지만 여기서 마지막 줄의 덧셈을 다시 시키는 것은 핵심을 놓칠 수 있습니다. 실제로 풀이를 거꾸로 살펴보니, 첫 번째 괄호의 x와 두 번째 괄호의 4를 곱한 x×4만 기록하고, 첫 번째 괄호의 4와 두 번째 괄호의 x를 곱하는 순서를 확인하지 않았습니다. 즉, 가장 먼저 어긋난 판단은 ‘제곱된 괄호는 두 항의 곱을 모두 적지 않아도 된다’고 처리한 순간이었습니다.

한 줄의 계산이 아니라 네 번의 곱으로 다시 쓰기

교정은 하나만 적용했습니다. 괄호를 전개할 때 왼쪽 괄호의 각 항을 오른쪽 괄호의 두 항과 각각 곱해, 네 항을 먼저 적는 기준입니다.

(x+4)(x+4)
=x×x+x×4+4×x+4×4
=x²+4x+4x+16
=x²+8x+16

학생은 처음에 적었던 x²과 16은 그대로 유지하고, 빠졌던 4×x만 추가했습니다. 그 뒤 같은 모양의 항인 4x와 4x를 합쳤습니다. 여기서 중요한 것은 공식을 외워 가운데 항을 추측한 것이 아니라, 첫 번째 항이 두 번째 괄호의 두 항과 모두 곱해졌는지를 식에 남겨 확인한 점입니다.

• x는 x와 곱해져 x²가 됩니다.
• x는 4와 곱해져 4x가 됩니다.
• 4는 x와 곱해져 4x가 됩니다.
• 4는 4와 곱해져 16이 됩니다.

이 네 기록이 있어야 전개 구조가 보이고, 마지막에 동류항을 정리할 수 있습니다. 다른 단원의 공식이나 새로운 계산법을 끌어오지 않고, 주어진 괄호 안 두 항의 곱만 점검했습니다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 식의 배열과 부호를 달리했습니다.

(3y-2)²을 전개한 식을 다음 보기에서 고르시오.
① 9y²-4 　② 9y²-12y+4 　③ 9y²+12y+4

학생은 먼저 (3y-2)(3y-2)로 바꾸고, 항의 순서를 직접 표시했습니다.

3y×3y=9y²
3y×(-2)=-6y
(-2)×3y=-6y
(-2)×(-2)=4

따라서 네 항을 모으면 9y²-6y-6y+4이고, 같은 항을 정리하여 9y²-12y+4, 즉 ②를 골랐습니다. 앞선 문제와 달리 이번에는 두 번째 항의 부호가 음수였지만, 먼저 곱을 적는 기준은 그대로였습니다. 부호를 눈으로 짐작해 가운데 항을 정하지 않고, 각 곱 안에서 부호를 함께 처리했습니다.

일주일 뒤, 힌트 없이 남긴 검산

한 주 뒤에는 다음 문제를 별도의 유형 표시 없이 제시했습니다.

(2t+5)²을 전개하고, t=1을 대입하여 전개 전과 전개 후의 값이 같은지 확인하시오.

학생은 먼저 네 곱을 적었습니다.

(2t+5)(2t+5)
=2t×2t+2t×5+5×2t+5×5
=4t²+10t+10t+25
=4t²+20t+25

이후 t=1을 대입했습니다.

전개 전: (2×1+5)²=7²=49
전개 후: 4×1²+20×1+25=4+20+25=49

학생은 “네 곱을 모두 적었기 때문에 가운데 두 항이 각각 10t로 남고, 합치면 20t가 된다. t=1에서 두 식의 값이 같으므로 전개 과정에서 항을 빠뜨리지 않았는지 확인할 수 있다”고 설명했습니다. 안심중3수학과외에서 확인하고 싶었던 변화는 정답 자체보다, 새로운 식에서도 스스로 네 곱을 선택하고 그 이유와 대입 검산 근거를 말한 장면이었습니다.