각산동 중3수학과외

근호가 같다는 말부터 확인한 각산동 중3수학 풀이

각산동과외 수업에서 학생의 풀이 기록을 펼쳐 보니, 계산 실수보다 먼저 살펴볼 장면이 있었습니다. 대구지식산업작은도서관 인근 생활권에서 자습하듯 문제를 풀 때 학생은 유형명이나 해설을 보지 않고 식부터 적었습니다. 이번 각산동중3수학과외의 초점은 제곱근을 계산하는 여러 방법이 아니라, 동류근인지 확인한 뒤에만 근호가 있는 항을 더하고 빼는 판단으로 좁혔습니다.

계수만 보고 합친 첫 식

문제는 다음과 같았습니다.

2√3＋5√12－√27을 간단히 하시오.

학생은 먼저 √12와 √27을 바로 정리하지 않고, 눈에 익은 예제의 순서를 떠올리며 다음과 같이 적었습니다.

2√3＋5√12－√27
= (2＋5－1)√(3＋12－27)
= 6√(－12)

이 식에서 최종 결과가 이상하다는 사실보다 중요한 것은, 근호 안의 수가 서로 다른데도 계수 2, 5, -1만 보고 한꺼번에 묶었다는 최초의 판단입니다. √3, √12, √27은 처음 보이는 모양이 서로 다르므로 아직 동류근이라고 말할 수 없습니다. 근호가 다르면 계수끼리만 더하거나 뺄 수 없습니다.

표시 하나로 바꾼 판단 기준

틀어진 지점은 계산 전체가 아니라 ‘무엇을 같은 항으로 볼 것인가’였습니다. 그래서 기존에 맞았던 계산을 모두 지우게 하지 않고, 각 항에서 근호 부분이 완전히 같은지 먼저 표시하는 행동 하나만 고쳤습니다.

학생은 각 근호를 제곱수와 남은 수로 살펴보았습니다.

√12＝√(4×3)＝2√3
√27＝√(9×3)＝3√3

그러자 원래 식은 다음처럼 바뀌었습니다.

2√3＋5(2√3)－3√3
= 2√3＋10√3－3√3
= 9√3

학생은 풀이 옆에 “근호 부분이 완전히 같은 항만 계수끼리 계산”이라고 한 줄로 적었습니다. 이 기준은 숫자를 외우는 대신, 실제 식에서 같은 근호를 먼저 찾아 표시하게 합니다. √3끼리만 계산했으므로 마지막에 남은 근호의 종류도 √3 하나입니다.

모양을 바꾼 식에서도 같은 표시

다음 문제는 앞의 숫자만 바꾼 반복문제가 아니었습니다. 항의 순서와 부호를 바꾸고, 한 항은 이미 간단히 정리된 형태로 제시했습니다.

7√5－√45＋3√20－2√5를 계산하시오.

학생은 이번에는 앞에서부터 계수만 모으지 않고 근호를 먼저 표시했습니다.

√45＝3√5,　√20＝2√5

따라서 식은

7√5－3√5＋3(2√5)－2√5

가 됩니다. 모든 항의 근호 부분이 √5로 같아진 뒤에야 계수를 계산하여

(7－3＋6－2)√5＝8√5

라고 정리했습니다. 특히 ‘－√45’를 계수 -1인 항으로 읽은 뒤, √45를 3√5로 바꾸어 -3√5가 된 과정을 말로 설명했습니다. 근호가 같아지기 전에는 합치지 않고, 같아진 뒤 계수만 계산한다는 기준을 식의 앞뒤 순서가 달라도 적용한 것입니다.

도움 없이 남은 근호를 점검하다

일주일 뒤에는 풀이 순서나 표시 방법을 알려 주지 않고 새 문제를 제시했습니다.

√48＋2√75－√12－4√3을 간단히 하고, 정리 전후의 근호를 비교하시오.

학생은 먼저

√48＝4√3,　√75＝5√3,　√12＝2√3

로 바꾼 뒤

4√3＋10√3－2√3－4√3＝8√3

을 얻었습니다. 그리고 “정리하기 전에는 √48, √75, √12, √3이 섞여 있었지만, 각각을 바꾼 뒤 모든 항의 근호 부분이 √3으로 같아졌다. 그래서 계수 4, 10, -2, -4만 계산했다”고 설명했습니다.

마지막으로 원래 식의 각 항을 다시 대입해 보며 같은 근호끼리만 모았는지 확인했습니다. 도움 없이 정리 전후에 남은 근호의 종류가 하나인지를 검산 근거로 삼았고, 근호가 서로 다른 항을 계수만으로 합치지 않는다는 판단을 스스로 재현했습니다. 강동중학교, 새론중학교 등이 포함된 각산동 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 이번 기준은 문제 모양이 달라져도 그대로 사용할 수 있습니다.