대명동 중3수학과외
대명동 중3수학과외에서 확인한 근호식의 숨은 인수
대명동과외 수업에서는 주말 누적복습으로 앞서 배운 근호식을 다시 비교했습니다. 교대역푸르지오트레힐즈와 희망교대성유니드가 있는 생활권, 그리고 화성그랜드파크 도서관 함지원 인근에서 학습하는 학생들이 자주 만나는 유형도 바로 이런 형태입니다. 경상중학교, 대명중학교, 경혜여자중학교가 포함된 생활권의 중3수학과외에서도 표현만 달라진 같은 관계를 구별하는 연습이 필요합니다.
나란히 놓인 두 식에서 시작된 의문
문제는 다음 두 근호식을 비교하는 것이었습니다.
√72와 √(9×8)은 같은 값을 나타내는지 확인하고, √72를 근호 밖의 수가 있는 꼴로 나타내시오.
학생은 먼저 두 식을 나란히 적었습니다.
√72 = √(9×8)
여기까지는 정확했습니다. 이어서 8도 4×2로 쓸 수 있다는 점을 표시하고,
√72 = √(9×4×2) = 3×2√2 = 6√2
라고 계산했습니다. 이 계산 역시 완전제곱인 인수 9와 4를 찾아 밖으로 꺼낸 것이므로 맞습니다. 그런데 복습 문제의 표현이 바뀌자 학생은 다음과 같이 적었습니다.
√(18×2) = √18 × 2 = 3√2 × 2
마지막에는 6√2라고 답했지만, 처음 등식에서 이미 잘못된 판단이 들어 있었습니다. √(18×2)에서 2는 근호 전체에 포함되어 있으므로, 근호 밖으로 바로 이동할 수 있는 수가 아닙니다.
계산보다 먼저 고친 한 가지 기준
이번 오류는 18을 제대로 계산하지 못한 문제가 아니었습니다. 표현이 √(9×8)에서 √(18×2)로 바뀌자, 곱셈 기호 바로 뒤의 수를 완전제곱 인수인지 확인하지 않고 꺼낸 것이 최초의 어긋난 판단이었습니다.
교정은 한 행동으로 제한했습니다. 근호 안의 수를 먼저 인수분해하여 완전제곱인 부분에만 표시하기로 했습니다.
학생은 같은 식을 다시 적었습니다.
√(18×2) = √(9×2×2) = √(9×4) = √36 = 6
또는 원래 식을 그대로 묶으면
√(18×2) = √36 = 6
입니다. 여기서 근호 밖으로 나온 6은 36의 제곱근입니다. 2를 단독으로 옮긴 것이 아니라, 18×2 안에서 만들어진 완전제곱인수 36 전체를 확인한 점이 핵심입니다.
표현을 바꾼 독립 문제
다음에는 숫자만 바꾸지 않고 식의 배열과 질문 방향을 바꾸었습니다. 학생에게 식을 간단히 하라고 바로 말하지 않고, 아래 표에서 근호 안에 완전제곱인 인수가 포함된 식을 찾아 그 근거를 쓰게 했습니다.
- ① √(5×20)
- ② √(3×12)
- ③ √(7×14)
- ④ √(2×45)
학생은 먼저 각 피근수를 곱해 비교하지 않고 인수 배열을 살폈습니다. ①은 5×20=5×4×5=4×25이므로 완전제곱인수 100을 만들 수 있어 √100=10입니다. ②는 3×12=3×3×4=36이므로 6입니다. ③은 7×14=7×7×2=49×2이므로 7√2입니다. ④는 2×45=2×9×5=9×10이므로 3√10입니다.
이 과정에서 학생은 ‘곱셈식에서 눈에 먼저 보이는 수’를 옮기지 않고, 피근수 전체를 인수분해해 제곱으로 묶이는 부분을 찾았습니다. 같은 근호식이라도 √(49×2)처럼 이미 배열된 경우와 √(2×45)처럼 흩어져 있는 경우를 같은 기준으로 처리한 것입니다.
힌트 없이 남은 한 문제
마지막에는 아무 표시도 없는 새 문제를 제시했습니다.
√(8×50)을 가장 간단한 꼴로 나타내고, 근호 밖의 수가 올바른지 확인하시오.
학생은 “8×50에서 8을 바로 꺼낼 수는 없다”고 먼저 말한 뒤, 8×50=2×4×25×2=100×4로 묶었습니다. 따라서
√(8×50)=√400=20
이라고 풀이했습니다. 이어 “밖으로 나온 20을 다시 제곱하면 400이고, 이것은 원래 피근수 8×50과 같다”고 설명했습니다. 단순히 답을 맞힌 것이 아니라, 완전제곱인 인수를 찾았는지와 밖으로 나온 수의 제곱이 원래 피근수와 일치하는지를 스스로 점검한 것입니다. 이 기준이 대명동중3수학과외에서 근호식의 표현이 달라질 때도 흔들리지 않는 최종 확인 방법이 됩니다.