대명동 중1수학과외

곱셈식의 모양이 달라져도 최대공약수 찾기

대명동과외 수업에서 학생은 대명중학교가 포함된 생활권의 중1수학 문제를 풀며, 자연수의 최대공약수를 소인수의 곱으로 구성하는 과정을 점검했다. 대명동중1수학과외에서는 단순히 답을 적는 것보다 주어진 수를 어떤 곱셈 형태로 바꾸고, 공통으로 포함된 인수를 어떻게 선택하는지에 초점을 맞췄다.

학생이 적은 첫 풀이와 어긋난 지점

문제는 72와 120의 최대공약수를 구하는 것이었다. 학생은 먼저 두 수를 소인수분해하여 공통 인수를 찾으려 했다.

72=2×2×2×3, 120=2×2×2×3×5
따라서 최대공약수=2×2×2×3×5=120

두 번째 줄에서 학생은 두 수에 들어 있는 인수를 모두 한데 모았다. 그러나 최대공약수는 각각의 수에 공통으로 들어 있는 인수만으로 만들어야 한다. 계산 결과가 틀렸다는 사실보다 앞서, 공통 인수와 한쪽에만 있는 인수를 구분하지 않은 판단이 풀이가 처음 어긋난 지점이었다.

잘못된 한 항을 다시 분리하다

학생이 적은 두 곱셈식을 나란히 놓고 인수마다 표시했다.

• 72에는 2가 세 개, 3이 한 개 있다.
• 120에는 2가 세 개, 3이 한 개, 5가 한 개 있다.
• 두 식에 모두 있는 인수는 2, 2, 2, 3이다.
• 5는 120에만 있으므로 최대공약수의 구성에서 제외한다.

따라서 학생은 2×2×2×3을 계산하여 24를 얻었다. 지도에서는 이미 맞게 소인수분해한 과정은 그대로 두고, 마지막에 인수를 합치는 대신 두 식에 공통으로 표시된 것만 선택하도록 교정했다. 구한 24를 72와 120에 각각 나누어 보니 72÷24=3, 120÷24=5가 되어 두 수 모두 나누어떨어졌다.

표현을 바꾸어도 같은 공통 인수를 찾는 연습

다음 문제에서는 숫자를 단순히 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다. “84와 126을 소인수의 곱으로 나타낸 뒤 최대공약수를 구하여라”라는 문장 대신, 다음 표가 제시되었다.

수	소인수의 곱
84	2×2×3×7
126	2×3×3×7

학생은 표의 각 줄에서 인수를 하나씩 대조하고, 두 줄에 함께 나타나는 2, 3, 7에 동그라미를 쳤다. 2×3×7=42라고 적은 뒤, “각 수를 나누었을 때 나머지가 없고, 두 수에 공통으로 들어 있는 인수를 더 넣을 수 없으므로 최대공약수는 42”라고 설명했다. 이번에는 식에서 표로 제시 방식이 바뀌었지만, 공통으로 반복되는 인수를 선택한다는 기준을 놓치지 않았다.

조건이 먼저 주어진 문제에서 다시 세우기

이후에는 “두 수의 최대공약수가 18이고, 한 수가 54일 때 다른 수의 가능한 값을 구하여라”처럼 조건과 질문의 순서가 달라진 문제를 제시했다. 학생은 곧바로 숫자를 곱하지 않고, 먼저 18을 소인수의 곱으로 나타냈다.

18=2×3×3, 54=2×3×3×3

학생은 다른 수에도 2×3×3이 반드시 포함되어야 하며, 54와 공통으로 더 큰 인수를 만들면 안 된다고 적었다. 예를 들어 54에 3을 더 포함한 수는 54와의 최대공약수가 54가 될 수 있으므로 조건에 맞지 않는다고 판단했다. 문제에서 요구한 값의 범위를 먼저 확인한 뒤, 가능한 수를 소인수의 곱으로 구성하고 54와의 공통 인수를 다시 비교했다.

힌트 없이 풀이를 재현한 장면

단원평가 직전 학생은 다음 문제를 도움 없이 풀었다.

90과 150을 다른 곱셈 형태로 나타내고 최대공약수를 구하여라.

학생은 먼저 90=2×3×3×5, 150=2×3×5×5로 바꾸었다. 이어 두 식에 공통으로 있는 2, 3, 5만 골라 2×3×5=30이라고 썼다. 마지막으로 90÷30=3, 150÷30=5를 계산하고, 두 식에 공통 인수를 더 선택할 수 없으므로 30이 최대공약수라고 설명했다.

학생은 처음 72와 120을 풀 때처럼 한쪽에만 있는 인수를 섞지 않았고, 표현이 식에서 표로 바뀌거나 조건이 먼저 제시되어도 소인수분해와 공통 인수 확인을 자신의 순서로 재현했다. 답만 맞힌 것이 아니라, 최초의 판단이었던 “모든 인수를 합친다”는 방식을 스스로 버리고 공통 인수만으로 최대공약수를 구성했는지까지 원래 수에 대입하여 확인했다.