대명동 중1수학과외

곱셈식의 모양이 달라져도 최대공약수 찾기

대명동과외 수업에서 학생은 대명중학교가 포함된 생활권의 중1수학 문제를 풀며, 자연수의 최대공약수를 소인수의 곱으로 구성하는 과정을 점검했다. 대명동중1수학과외에서는 단순히 답을 적는 것보다 주어진 수를 어떤 곱셈 형태로 바꾸고, 공통으로 포함된 인수를 어떻게 선택하는지에 초점을 맞췄다. 교대역푸르지오트레힐즈가 있는 생활권과 꿈꾸는도서관 인근 생활권에서 자주 접할 수 있는 생활 문제도 결국 같은 계산 원리로 정리할 수 있다.

학생이 적은 첫 풀이와 어긋난 지점

문제는 72와 120의 최대공약수를 구하는 것이었다. 학생은 먼저 두 수를 소인수분해하여 공통 인수를 찾으려 했다.

72=2×2×2×3, 120=2×2×2×3×5
따라서 최대공약수=2×2×2×3×5=120

두 번째 줄에서 학생은 두 수에 들어 있는 인수를 모두 한데 모았다. 그러나 최대공약수는 각각의 수에 공통으로 들어 있는 인수만으로 만들어야 한다. 계산 결과가 틀렸다는 사실보다 앞서, 공통 인수와 한쪽에만 있는 인수를 구분하지 않은 판단이 풀이가 처음 어긋난 지점이었다.

잘못된 한 항을 다시 분리하다

학생이 적은 두 곱셈식을 나란히 놓고 인수마다 표시했다.

72에는 2가 세 개, 3이 한 개 있다.
120에는 2가 세 개, 3이 한 개, 5가 한 개 있다.
두 식에 모두 있는 인수는 2, 2, 2, 3이다.
5는 120에만 있으므로 최대공약수의 구성에서 제외한다.

따라서 학생은 2×2×2×3을 계산하여 24를 얻었다. 지도에서는 이미 맞게 소인수분해한 과정은 그대로 두고, 마지막에 인수를 합치는 대신 두 식에 공통으로 표시된 것만 선택하도록 교정했다. 구한 24를 72와 120에 각각 나누어 보니 72÷24=3, 120÷24=5가 되어 두 수 모두 나누어떨어졌다.

표현을 바꾸어도 같은 공통 인수를 찾는 연습

다음 문제에서는 숫자를 단순히 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다. “84와 126을 소인수의 곱으로 나타낸 뒤 최대공약수를 구하여라”라는 문장 대신, 다음 표가 제시되었다.

수	소인수의 곱
84	2×2×3×7
126	2×3×3×7

학생은 표의 각 줄에서 인수를 하나씩 대조하고, 두 줄에 함께 나타나는 2, 3, 7에 동그라미를 쳤다. 2×3×7=42라고 적은 뒤, “각 수를 나누었을 때 나머지가 없고, 두 수에 공통으로 들어 있는 인수를 더 넣을 수 없으므로 최대공약수는 42”라고 설명했다. 이번에는 식에서 표로 제시 방식이 바뀌었지만, 공통으로 반복되는 인수를 선택한다는 기준을 놓치지 않았다.

조건이 먼저 주어진 문제에서 다시 세우기

이후에는 “두 수의 최대공약수가 18이고, 한 수가 54일 때 다른 수의 가능한 값을 구하여라”처럼 조건과 질문의 순서가 달라진 문제를 제시했다. 학생은 곧바로 숫자를 곱하지 않고, 먼저 18을 소인수의 곱으로 나타냈다.

18=2×3×3, 54=2×3×3×3

학생은 다른 수에도 2×3×3이 반드시 포함되어야 하며, 54와 공통으로 더 큰 인수를 만들면 안 된다고 적었다. 예를 들어 54에 3을 더 포함한 수는 54와의 최대공약수가 54가 될 수 있으므로 조건에 맞지 않는다고 판단했다. 문제에서 요구한 값의 범위를 먼저 확인한 뒤, 가능한 수를 소인수의 곱으로 구성하고 54와의 공통 인수를 다시 비교했다.

힌트 없이 풀이를 재현한 장면

단원평가 직전 학생은 다음 문제를 도움 없이 풀었다.

90과 150을 다른 곱셈 형태로 나타내고 최대공약수를 구하여라.

학생은 먼저 90=2×3×3×5, 150=2×3×5×5로 바꾸었다. 이어 두 식에 공통으로 있는 2, 3, 5만 골라 2×3×5=30이라고 썼다. 마지막으로 90÷30=3, 150÷30=5를 계산하고, 두 식에 공통 인수를 더 선택할 수 없으므로 30이 최대공약수라고 설명했다.

학생은 처음 72와 120을 풀 때처럼 한쪽에만 있는 인수를 섞지 않았고, 표현이 식에서 표로 바뀌거나 조건이 먼저 제시되어도 소인수분해와 공통 인수 확인을 자신의 순서로 재현했다. 답만 맞힌 것이 아니라, 최초의 판단이었던 “모든 인수를 합친다”는 방식을 스스로 버리고 공통 인수만으로 최대공약수를 구성했는지까지 원래 수에 대입하여 확인했다.

대명동 중1수학과외 학부모 후기

숙제 제출을 앞둔 날이라 시험지를 챙겨 주려고 펼쳤다가 한쪽에 적힌 숫자들을 보게 됐어요. 틀린 문제를 모아 둔 건가 싶었는데, 자세히 보니 마지막에 다시 계산해 볼 번호만 따로 적어 둔 흔적이더라고요. 대명동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 눈여겨보지 못했는데, 이번에는 풀이를 끝낸 뒤 확인할 곳을 따로 남겨 둔 셈이었어요. 아이를 보면 예전에는 중간에 어떤 판단을 했는지 적기보다 답만 맞춰 놓고 넘어가는 편이었거든요. 그런데 이번 시험지에는 처음부터 모든 문제를 다시 보는 대신, 검산이 필요한 번호를 골라 한쪽에 모아 두었습니다. 답을 적었다는 사실보다 무엇을 다시 볼지 구분해 둔 점이 먼저 보였어요. 다른 긴 문장을 해석하는 문제를 풀 때도 비슷한 장면이 나왔습니다. 문장을 끝까지 읽은 뒤 검산할 문제 번호를 따로 적고, 이미 확인한 부분과 아직 살펴보지 않은 부분을 나누어 표시하고 있더라고요. 확인한 곳과 남은 곳이 섞이지 않게 정리된 시험지를 보니, 마지막에 어디부터 다시 볼지 한눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

새 문제집을 꺼내 놓은 날, 아이가 계산이 길게 이어진 문제를 처음부터 다시 풀지 않더라고요. 잠시 보다가 틀린 줄 바로 앞까지 눈을 옮기더니 그 지점부터 풀이를 이어 갔어요. 계산한 부분을 전부 지우고 새로 시작할 줄 알았는데, 흐름을 남겨 둔 채 다시 보는 모습이 눈에 들어왔습니다. 예전에는 막힌 곳이 생기면 어디서부터 잘못됐는지 드러나지 않게 그냥 넘기거나 전체를 다시 적곤 했거든요. 이번에는 오류가 난 자리와 이어지는 계산을 구분해서 살펴보고 있었어요. 대명동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 저는 그 장면이 계속 생각났습니다. 새로운 서술형 문제를 풀 때도 풀이를 처음부터 되짚지 않고, 잘못된 계산 직전 줄에서 손을 멈췄어요. 그 아래쪽에 짧게 흔적을 남겨 두고 다시 이어 가서, 나중에 어느 부분을 확인해야 하는지가 바로 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

모의고사 문제를 펼치자마자 숫자부터 따라가지 않고 조건이 적힌 문장을 먼저 찾아 표시하더라고요. 한 번 읽고 바로 계산으로 넘어갈 줄 알았는데, 중요한 말에 짧게 선을 긋고 나서 수치를 확인하고 있었습니다. 다음에 다시 볼 수 있도록 표시를 남겨둔 것도 눈에 띄었어요. 잠들기 전 불을 끄러 갔다가 책상 위 자료를 챙기는 아이를 잠깐 봤습니다. 문제를 그냥 넘기지 않고 다시 읽으면서 숫자보다 조건 부분을 먼저 짚고 있더라고요. 예전에는 헷갈린 문제를 따로 골라 보기보다 자료 전체를 처음부터 반복해서 보는 편이었거든요. 대명동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 그날에는 문제를 읽는 순서 자체가 달라져 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

주말에 공부 계획이 밀리면 문제집을 펼치기도 싫었는데, 대명동에서 과외를 시작한 뒤에는 늦게 끝난 날에도 선생님이 제 상태를 살피며 수업량을 조절해 주셨습니다. 막히는 문제를 억지로 넘기지 않고 다음 시간까지 할 일을 짧게 나눠 알려 주셔서 질문도 편하게 할 수 있었습니다. 이제는 계획이 틀어져도 다시 정리해 이어가는 일이 전보다 자연스러워졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

첫 수업을 마친 아이가 대명동에서 돌아오는 길에 오늘 배운 내용을 제법 자세히 이야기해 놀랐습니다. 원래 낯을 많이 가리고 풀이가 길어지면 포기하곤 했는데, 선생님이 답을 바로 알려주기보다 어디까지 이해했는지 차분히 물어봐 주셨다고 합니다. 몇 차례 지나자 모르는 문제도 그대로 지나치지 않고 다시 질문하는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

어려운 단원을 앞두고도 예전처럼 수학 숙제를 맨 마지막에 미루지는 않게 됐습니다. 대명동 수업에서 문제 수를 줄인 날에는 막힌 부분을 표시해 질문을 준비했고, 선생님은 같은 실수가 나오면 문제를 더 내기보다 이유부터 함께 정리해 주셨습니다. 복습을 하루 미뤄도 다음 날 다시 이어가는 모습이 보여 부모로서 안심됐습니다.

★★★★★학부모 후기