논공 중3수학과외

논공 중3수학과외에서 확인한 (a-b)²의 전개 원리

논공과외 수업에서 서술형 식을 풀던 중, 학생이 다음과 같이 적어 두었습니다.

(x-4)² = x²-16

계산 결과만 보면 가운데 항이 빠진 것이 문제였지만, 더 먼저 살펴볼 부분은 식을 시작할 때 어떤 항들이 곱해지는지 확인하지 않았다는 점이었습니다. 논공중3수학과외에서는 이 한 지점만 붙잡고, (a-b)²의 전개 구조를 식으로 직접 확인했습니다. 성서5차산업단지나 죽곡대실역한신휴플러스 아파트가 있는 생활권, 북동중학교와 논공중학교가 포함된 주변에서 중3 수학을 공부할 때도 이런 서술형 식은 답만 쓰기보다 전개 과정을 남기는 것이 중요합니다.

식 안에서 먼저 찾아야 할 세 항

학생은 처음에 제곱을 각각 계산하는 방식으로 접근했습니다. 즉, x²과 4²만 적고 두 값을 빼어 x²-16이라고 결론 내렸습니다. 여기서 아직 계산을 틀린 것이 아니라, (x-4)(x-4)로 바꾸어 곱해야 한다는 출발 판단을 하지 않은 것이 최초의 어긋남이었습니다.

식을 두 괄호의 곱으로 다시 쓰자 학생은 다음처럼 항을 표시했습니다.

• 첫 번째 x와 두 번째 괄호의 x를 곱한다: x·x=x²
• 첫 번째 x와 두 번째 괄호의 -4를 곱한다: x·(-4)=-4x
• 첫 번째 괄호의 -4와 두 번째 x를 곱한다: (-4)·x=-4x
• 두 -4를 곱한다: (-4)·(-4)=16

따라서

(x-4)²=(x-4)(x-4)=x²-4x-4x+16=x²-8x+16

이렇게 전개됩니다. 학생은 처음 답안에서 맞게 적었던 x² 부분은 그대로 두고, 빠져 있던 두 개의 교차 곱과 마지막 부호만 식에 추가했습니다. 이때 핵심 기준은 여러 가지 풀이법을 외우는 것이 아니라, 두 괄호의 항을 빠짐없이 한 번씩 곱한 뒤 동류항을 합친다는 한 문장으로 정리했습니다.

모양을 바꾼 식에서 같은 기준 적용하기

다음 문제는 숫자만 바꾸지 않고 식의 모양을 달리했습니다.

(2m-3n)²을 전개하여 m², mn, n²의 계수를 각각 구하여라.

이번에는 학생이 공식을 곧바로 대입하지 않고 먼저 곱셈식으로 바꾸었습니다.

(2m-3n)(2m-3n)

그 뒤 표처럼 항을 나누어 적었습니다.

• 2m·2m=4m²
• 2m·(-3n)=-6mn
• (-3n)·2m=-6mn
• (-3n)·(-3n)=9n²

그러므로

(2m-3n)²=4m²-12mn+9n²

입니다. 이번에는 문제에서 완성된 식을 단순히 요구하지 않고 각 항의 계수를 물었지만, 학생은 같은 기준으로 가운데 항을 두 번 만들고 합쳤습니다. 특히 빼기 기호가 두 번 곱해지는 마지막 항은 ‘음수와 음수의 곱’으로 직접 표시해 부호를 놓치지 않았습니다.

일주일 뒤, 값으로 확인한 독립 풀이

며칠 뒤에는 힌트 없이 다음 문제를 제시했습니다.

(3p-2)²을 전개한 식을 쓰고, p=5일 때 전개 전후의 값이 같은지 확인하여라.

학생은 먼저

(3p-2)(3p-2)=9p²-6p-6p+4=9p²-12p+4

라고 적었습니다. 이어 p=5를 원래 식에 대입하여

(3×5-2)²=13²=169

을 구했습니다. 전개한 식에도 p=5를 넣어

9×5²-12×5+4=225-60+4=169

라고 계산했습니다. 두 값이 모두 169이므로 전개 과정에서 만든 식이 원래 식과 같은 값을 내는지 확인할 수 있었습니다.

이번 풀이에서 학생은 예제의 순서나 숫자에 의존하지 않고, 괄호를 두 곱으로 바꾸고 네 번의 곱을 적은 뒤 가운데 항을 정리했습니다. 논공중3수학과외에서 확인한 변화는 정답 자체보다도, 제곱식을 보았을 때 먼저 모든 항의 곱을 확인하는 판단을 스스로 선택했다는 데 있습니다.