이곡동 중2수학과외

이곡동 중2수학과외에서 확인한 유한소수와 순환소수의 경계

이곡동과외 수업에서 학생은 기약분수의 분모에 2와 5가 들어 있는지를 살펴 유한소수인지 순환소수인지 판단하는 문제를 풀고 있었습니다. 성지중학교가 포함된 생활권과 레이크뷰행복작은도서관 인근 생활권에서 자주 접할 수 있는 중2수학 문제 유형이지만, 단순히 분모에 2나 5가 보이는지만 확인해서는 안 되는 상황이었습니다.

분모를 먼저 본 한 줄에서 시작된 오류

학생은 다음과 같이 적었습니다.

18/60은 분모 60에 2와 5가 있으므로 유한소수이다.

그 뒤 60을 소인수분해하려고 했지만, 이미 유한소수라고 결론을 낸 상태라 18과 60의 공약수를 표시하지 않고 계산을 진행했습니다. 실제로 이 문제에서 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 실수가 아니었습니다. 기약분수로 고치기 전 분모를 보고 유한소수 여부를 결정한 것이 최초의 잘못된 선택이었습니다.

학생은 이어서 18/60을 0.3으로 적었습니다. 그러나 18/60은 3/10이므로 0.3이 맞았고, 처음 판단도 우연히 맞는 결론처럼 보였습니다. 그래서 더 위험했습니다. 같은 방식으로 14/35를 살펴보면서는 분모 35에 5와 7이 함께 있다는 이유로 순환소수라고 표시했지만, 14/35는 2/5로 약분되어 유한소수가 됩니다. 결과가 맞았던 한 문제에 기대어 판단 규칙을 잘못 세운 장면이었습니다.

약분을 조건 확인보다 앞에 두기

교정은 한 가지 순서만 바꾸는 데서 시작했습니다. 학생의 계산 중 공약수를 찾는 과정은 그대로 두고, 결론을 쓰는 위치만 뒤로 미뤘습니다.

• 분자와 분모의 공약수를 먼저 찾아 기약분수로 만든다.
• 기약분수의 분모를 소인수분해한다.
• 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수, 다른 소인수가 남으면 순환소수로 판단한다.

학생은 14/35에서 7을 먼저 약분해 2/5를 만들고, 분모 5만 남는 것을 확인했습니다. 반대로 7/30은 더 이상 약분되지 않으므로 분모를 2×3×5로 표시했습니다. 이때 3이 남아 있으므로 유한소수가 아니라 순환소수라고 설명했습니다. “2와 5가 있느냐”가 아니라 “2와 5 이외의 소인이 남아 있느냐”를 묻는 방식으로 판단 문장을 고쳤습니다.

표와 조건을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 분수가 직접 제시되지 않고, 세 수의 소인수 정보가 표로 주어졌습니다.

• 가: 분자와 분모의 공약수를 약분한 뒤 분모가 2×5
• 나: 약분한 뒤 분모가 2×2×5×5
• 다: 약분한 뒤 분모가 2×3×5

학생은 가와 나를 유한소수, 다를 순환소수로 분류했습니다. 이어 질문이 “순환소수인 것을 고르시오”에서 “유한소수로 나타낼 수 없는 것을 고르시오”로 바뀌자, 답의 방향만 바꾸어 다를 선택했습니다. 분모의 모양을 보고 답한 것이 아니라, 남은 소인수와 질문의 부정을 함께 확인한 것입니다.

부호도 바꾸어 확인했습니다. -21/70을 보고 음수이므로 별도 규칙을 적용하지 않고, 먼저 -3/10으로 약분했습니다. 부호는 소수의 양수·음수를 정할 뿐, 분모의 소인수 조건을 바꾸지 않는다고 적었습니다. 반면 11/24는 분모가 2×2×2×3이므로 3이 남아 순환소수라고 판정했습니다. 단순히 분모에 2가 포함되었다는 이유로 유한소수라고 하지 않았습니다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업의 끝에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.

45/150과 -13/40 중 순환소수로 나타나는 수를 고르고, 그 이유를 쓰시오.

학생은 먼저 45/150에서 15를 약분해 3/10을 만들고, -13/40은 더 이상 약분되지 않는다고 적었습니다. 이어 3/10의 분모는 2×5뿐이므로 유한소수, 40도 2×2×2×5로 2와 5뿐이므로 역시 유한소수라고 설명했습니다. 따라서 순환소수는 없다고 결론 내렸습니다.

학생은 마지막에 “기약분수로 만들기 전 분모는 판단 근거가 될 수 없고, 약분한 뒤 분모에 2와 5 이외의 소인이 남는지가 기준이다”라고 스스로 말했습니다. 이곡동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 하나가 아니라, 새로운 분수에서도 첫 판단과 검산 근거를 같은 순서로 재현했다는 점에 있었습니다.